Q7: Seja A=\left[\begin{array}{ll}\vec{u} & \vec{v}\end{array}\right] uma matriz 2 \times 2 cujas colunas são os vetores \vec{u} e \vec{v}. Considere a matriz B=\left[\begin{array}{ll}\vec{v} & 7 \vec{u}-6 \vec{v}\end{array}\right], cujas colunas são os vetores \vec{v} e 7 \vec{u}-6 \vec{v}. Então:
(A) \operatorname{det}(B)=-\operatorname{det}(A)
(B) \operatorname{det}(B)=-7 \operatorname{det}(A)
(C) \operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A)
(D) \operatorname{det}(B)=-6 \operatorname{det}(A)
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho 2\times2 cujas colunas são os vetores \vec{u} e \vec{v}, e define outra matriz B cujas colunas são \vec{v} e 7\vec{u}-6\vec{v}. O conteúdo principal é o cálculo de determinantes usando a propriedade de multiplicatividade: se B = A\,M então \det(B)=\det(A)\,\det(M).

Passo 2

Para usar essa propriedade, escrevemos as colunas de B como combinações lineares das colunas de A. Como A=[\vec{u}\;\vec{v}], temos
B=[\,\vec{v}\;\;7\vec{u}-6\vec{v}\,] = [\,\vec{u}\;\vec{v}\,] \begin{pmatrix} 0 & 7\\\\ 1 & -6 \end{pmatrix} = A\,M.
Aqui M=\begin{pmatrix}0&7\\\ 1&-6\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
\det(M)=0\cdot(-6)-1\cdot7=-7.

Passo 4

Pela propriedade multiplicativa,
\det(B)=\det(A)\,\det(M)=\det(A)\cdot(-7)=-7\,\det(A).

Resposta

(B)

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