Considere as matrizes
A=(cc -4 & -3 10 & 7 ) e B=(ccc 1 & -2 & 3 0 & -1 & 3 0 & 0 & -1 )
(a) Verifique que A é diagonalizável. Em seguida, utilize o fato de A ser semelhante a uma matriz diagonal para calcular A^10.

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A = -4 & -3 10 & 7 ,
que a gente verifique que A é diagonalizável e depois use essa semelhança a uma diagonal para calcular A^10. O conteúdo aqui é autovalores e autovetores, construção de PDP^-1 e a fórmula
A^n = P,D^n,P^-1

Passo 2

Começamos pelo polinômio característico de A:
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det-4-lambda & -310 & 7-lambda =( -4-lambda)(7-lambda)-(-3)cdot10
chiA(lambda) =lambda^2-3lambda+2 =(lambda-1)(lambda-2)
As raízes são lambda1=1 e lambda2=2, distintas, o que já garante que A é diagonalizável.

Passo 3

Agora achamos os autovetores:
  1. Para :
    Um vetor próprio é, por exemplo, .
  2. Para :
    Um vetor próprio é, por exemplo, .
Como temos dois autovalores distintos com vetores linearly independentes, é diagonalizável.

Passo 4

Formamos
P=l[v1;v2r] =3 & 1-5 & -2, D=1 & 00 & 2
Calculamos det P=(-6+5)=-1, logo
P^-1=1-1-2 & -15 & 3 =2 & 1-5 & -3
Temos, então,
A = P,D,P^-1

Passo 5

Pela fórmula de semelhança,
A^10=P,D^10,P^-1,
onde
D^10=1^10&00&2^10 =1&00&1024
Fazendo a multiplicação em etapas, chega-se a
A^10 =-5114 & -3069 10230 & 6139

Resposta

A é diagonalizável (autovalores 1 e 2 distintos) e
A^10 =-5114 & -3069 10230 & 6139

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