Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede:
(a) Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?
(b) Ache a transposta de N e de T.
(c) Calcule P+Q.
(d) Calcule os produtos N cdot M, P cdot Q, T cdot N e N cdot T.
(e) Uma potência da matriz M é um produto da forma M cdot M cdot cdots M. Calcule as seguintes potências: M^2, M^3 e M^4.
(f) Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se sua transposta é igual a sua inversa, isto é, se A cdot A^T=I, onde I é a matriz identidade. Quais das matrizes acima são ortogonais? Determine para quais valores de a e b a matriz S é ortogonal.
(g) Calcule a inversa, quando existir, das matrizes R, P e O.
(h) Calcule 4(O cdot R)^-1+P.
Passo 1
O enunciado apresenta várias matrizes e pede (a) identificar quais são simétricas (A^T = A) e antissimétricas (A^T = -A), (b) calcular as transpostas de N e T, (c) calcular P + Q, (d) computar os produtos N M, P Q, T N e N T, (e) obter as potências M^2, M^3 e M^4, (f) verificar ortogonalidade (A,A^T=I) e para quais a,b a matriz S é ortogonal, (g) achar as inversas de R, P e O quando existirem, e (h) calcular 4,(O,R)^-1+P. Usaremos as definições de transposta, produto, inversa e condição de ortogonalidade de matrizes.
Passo 2
Só matrizes quadradas podem ser simétricas ou antissimétricas. As quadradas aqui são
(f) Ortogonais: O; e S se, e somente se, a^2=b^2=1 (isto é, a=pm1,b=pm1).
(g) R^-1=l(1&-1/20&1/2r), P não invertível, O^-1=O.
(h) 4,(O,R)^-1+P=l(0&310&-4r).