Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede:
M=(ccc 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ), N=(ccc 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ), O=(ll 0 & 1 1 & 0 ), T=(cc 3 & 1 0 & 2 1 & -1 ) P=(ll 2 & -1 8 & -4 ), Q=(ll 0 & 1 0 & 2 ), R=(ll 1 & 1 0 & 2 ), S=(ll a & 0 0 & b )
(a) Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?
(b) Ache a transposta de N e de T.
(c) Calcule P+Q.
(d) Calcule os produtos N cdot M, P cdot Q, T cdot N e N cdot T.
(e) Uma potência da matriz M é um produto da forma M cdot M cdot cdots M. Calcule as seguintes potências: M^2, M^3 e M^4.
(f) Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se sua transposta é igual a sua inversa, isto é, se A cdot A^T=I, onde I é a matriz identidade. Quais das matrizes acima são ortogonais? Determine para quais valores de a e b a matriz S é ortogonal.
(g) Calcule a inversa, quando existir, das matrizes R, P e O.
(h) Calcule 4(O cdot R)^-1+P.

Passo 1

O enunciado apresenta várias matrizes e pede (a) identificar quais são simétricas ( A^T = A) e antissimétricas ( A^T = -A), (b) calcular as transpostas de N e T, (c) calcular P + Q, (d) computar os produtos N M, P Q, T N e N T, (e) obter as potências M^2, M^3 e M^4, (f) verificar ortogonalidade ( A,A^T=I) e para quais a,b a matriz S é ortogonal, (g) achar as inversas de R, P e O quando existirem, e (h) calcular 4,(O,R)^-1+P. Usaremos as definições de transposta, produto, inversa e condição de ortogonalidade de matrizes.

Passo 2

Só matrizes quadradas podem ser simétricas ou antissimétricas. As quadradas aqui são
Min R^3times3, O,P,Q,R,Sin R^2times2
Calculamos cada transposta e comparamos:
M^T= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 neq M, M^Tneq -M,
logo M não é nem simétrica nem antissimétrica.
O^T=0&11&0=O,
então O é simétrica (e não antissimétrica).
P^T=2&8-1&-4neq P, P^Tneq -P,
logo P não é nem simétrica nem antissimétrica.
Q^T=0&01&2neq Q, Q^Tneq -Q,
logo Q não é nem simétrica nem antissimétrica.
R^T=1&01&2neq R, R^Tneq -R,
logo R não é nem simétrica nem antissimétrica.
Para
S=a&00&b
temos
S^T=S,
portanto S é simétrica para quaisquer a,b. E
S^T=-Siffa&00&b=-a&00&-biff a=b=0,
então S é antissimétrica somente se a=b=0.

Passo 3

(b) As transpostas de Nin R^2times3 e Tin R^3times2 são
N^T=2&-11&30&7, T^T=3&0&11&2&-1

Passo 4

(c) Soma P+Q:
P+Q =2&-18&-4 +0&10&2 =2&08&-2

Passo 5

(d) Produtos:
N,M com Nin R^2times3, Min R^3times3:
N,M =2&1&0-1&3&7 1&0&10&1&00&0&1 =2&1&2-1&3&6
P,Q com P,Qin R^2times2:
P,Q =2&-18&-4 0&10&2 =0&00&0
T,N com Tin R^3times2, Nin R^2times3:
T,N =3&10&21&-1 2&1&0-1&3&7 = 5&6&7 -2&6&14 3&-2&-7
N,T com Nin R^2times3, Tin R^3times2:
N,T =2&1&0-1&3&7 3&10&21&-1 =6&44&-2

Passo 6

(e) Note que
M=1&0&10&1&00&0&1
é bloco-triangular e adiciona 1 na entrada (1,3) a cada multiplicação. Calcula-se
M^2 =1&0&20&1&00&0&1, M^3 =1&0&30&1&00&0&1, M^4 =1&0&40&1&00&0&1

Passo 7

(f) Uma matriz quadrada A é ortogonal se A,A^T=I. Testando as quadradas:
M,M^Tneq I, P,P^Tneq I, Q,Q^Tneq I, R,R^Tneq I.
O,O^T =0&11&0 0&11&0 =I,
logo O é ortogonal. Para
S=a&00&b
temos
S,S^T=a^2&00&b^2=I iff a^2=b^2=1 iff a=pm1,;b=pm1

Passo 8

(g) Inversa de R,P,O:
R=1&10&2, det R=2, R^-1=122&-10&1 =1&-tfrac120&tfrac12
det P=2cdot(-4)-(-1)cdot8=-8+8=0, logo P não é invertível.
O=0&11&0, det O=-1, O^-1=O

Passo 9

(h) Primeiro
O,R =0&11&0 1&10&2 =0&21&1
Temos det(O,R)=0cdot1-2cdot1=-2 e
(O,R)^-1 =1-21&-2-1&0 =-tfrac12&1tfrac12&0
Então
4,(O,R)^-1 =-2&42&0, 4,(O,R)^-1+P =-2&42&0 +2&-18&-4 =0&310&-4

Resposta

(a) Simétricas: O e S (para todo a,b). Antissimétricas: S apenas se a=b=0.
(b) N^T=l(2&-11&30&7r), T^T=l(3&0&11&2&-1r).
(c) P+Q=l(2&08&-2r).
(d)
N,M=2&1&2-1&3&6,; P,Q=0&00&0,; T,N=5&6&7-2&6&143&-2&-7,; N,T=6&44&-2
(e)
M^2=1&0&20&1&00&0&1,; M^3=1&0&30&1&00&0&1,; M^4=1&0&40&1&00&0&1
(f) Ortogonais: O; e S se, e somente se, a^2=b^2=1 (isto é, a=pm1,b=pm1).
(g) R^-1=l(1&-1/20&1/2r), P não invertível, O^-1=O.
(h) 4,(O,R)^-1+P=l(0&310&-4r).

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