Exercício 8. Resolva o sistema linear homogêneo:
l x+2 y+3 z=0 2 x+5 y+4 z=0 3 x+7 y+7 z=0
Qual é a dimensão do conjunto solução?

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
que é um problema de Álgebra Linear envolvendo o espaço nulo (kernel) da matriz de coeficientes. Para encontrar a dimensão do conjunto solução, vamos usar eliminação de Gauss para determinar o posto (rank) da matriz e depois aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem:
onde é o número de incógnitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 4 3 & 7 & 7
e aplicamos operações de linha para triangularizar:
  • L2 L2 - 2L1
  • L3 L3 - 3L1
    Isso leva ao sistema equivalente
x + 2y + 3z = 0, 0,x + y - 2z = 0, 0,x + y - 2z = 0

Passo 3

Subtraindo a segunda linha da terceira ( ) obtemos uma linha nula. Logo só há duas linhas não-nulas. Portanto

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, a dimensão do espaço de soluções é
Alternativamente, vemos que sobra uma variável livre (por exemplo ) e portanto toda solução é da forma
confirmando que o conjunto solução é uma reta em , ou seja, tem dimensão 1.

Resposta

A dimensão do conjunto solução é 1.

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