Determine o valor do determinante da matriz
A=(ccccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 2 & 2 -1 & 1 & -1 & 1 & -1 2 & 4 & 1 & 2 & 4 1 & 1 & 1 & 1 & 3 )

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 5times5. Vamos usar operações elementares em linhas (que não alteram o valor do determinante, exceto permutações de linhas) e, então, expansão por cofatores para reduzir o cálculo a determinantes menores.

Passo 2

Subtraímos da linha 2 a linha 1, somamos à linha 3 a linha 1, subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 4 e subtraímos a linha 1 da linha 5. Essas operações preservam o determinante. A matriz vira:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & -1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 2
Agora, expandimos o determinante pela primeira coluna. Como só o elemento (1,1) é não nulo, temos
det A ;=;1;timesdet B
onde B é a submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1:

Passo 3

A submatriz B de ordem 4 é
B = 0 & 1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 & 0 2 & -1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 2
Logo,
det A = det B

Passo 4

Para calcular det B, permutamos a linha 1 com a linha 2 (isso muda o sinal do determinante) e, em seguida, eliminamos abaixo do pivô em (1,1):
C= 2 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 & 2 0 & 0 & 0 & 2 , det B = -det C
Expandindo det C pela primeira coluna, sai um fator 2 e sobrou o determinante da matriz de ordem 3:

Passo 5

O menor de ordem 3 é
M = 1 & 1 & 1 -1 & -2 & 2 0 & 0 & 2
Expandindo pela terceira linha de M,
det M = 2;det1 & 1-1 & -2 =2,l(1cdot(-2)-1cdot(-1)r) =2,(-2+1) =-2
Assim,
det C = 2cdotdet M = 2cdot(-2)=-4, det B = -det C = 4, det A = 4

Resposta

4

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