Considere as matrizes abaixo:
M=(lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ), N=(ccc 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ), O=(ll 0 & 1 1 & 0 ), T=(cc 3 & 1 0 & 2 1 & -1 ), P=(ll 2 & -1 8 & -4 ), Q=(ll 0 & 1 0 & 2 ), R=(ll 1 & 1 0 & 2 ), S=(ll a & 0 0 & b )
Responda às seguintes perguntas:
(a) Determine quais destas matrizes são simétricas. E antissimétricas?

Passo 1

O enunciado dá várias matrizes M,N,O,T,P,Q,R,S e pede para identificar quais são simétricas (isto é, satisfazem ;A = A^T) e quais são antissimétricas (ou seja, satisfazem ;A^T = -A). Para isso, precisamos lembrar que somente matrizes quadradas podem ser simétricas ou antissimétricas, e usar o conceito de transposta.

Passo 2

Vamos primeiro descartar as matrizes não quadradas:
  • N é 2times3 e T é 3times2, logo nenhuma delas pode ser nem simétrica nem antissimétrica.

Passo 3

Analisamos agora simultaneamente M,P,Q,R, todas 3times3 ou 2times2, mas que não se igualam à sua transposta:
  • Para M,
M^T = 1&0&00&1&01&0&1neq M,
além disso seus elementos diagonais são não nulos, o que impede M^T=-M. Logo M é nem simétrica nem antissimétrica.
  • O mesmo raciocínio vale para
P=2&-18&-4, Q=0&10&2, R=1&10&2,
pois em cada caso A^Tneq A e as diagonais não são todas zero, então também não satisfazem A^T=-A.

Passo 4

Analisamos O:
O = 0&11&0, O^T = 0&11&0=O,
portanto O é simétrica. Como seus elementos diagonais são zero, ainda poderíamos checar O^T=-O, mas vemos que O^T=Oneq -O, então não é antissimétrica.

Passo 5

Por fim, a matriz diagonal S:
S = a&00&b, S^T = a&00&b=S,
logo S é simétrica para quaisquer a,b. Para ser antissimétrica precisaríamos de S^T=-S, o que obriga a=b=0 (caso trivial).

Resposta

As matrizes simétricas são O e S.
Nenhuma das matrizes dadas é antissimétrica (exceto o caso trivial S quando a=b=0, mas isso não foi assumido).

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