Responda às seguintes perguntas:
(a) Determine quais destas matrizes são simétricas. E antissimétricas?
Passo 1
O enunciado dá várias matrizes M,N,O,T,P,Q,R,S e pede para identificar quais são simétricas (isto é, satisfazem ;A = A^T) e quais são antissimétricas (ou seja, satisfazem ;A^T = -A). Para isso, precisamos lembrar que somente matrizes quadradas podem ser simétricas ou antissimétricas, e usar o conceito de transposta.
Passo 2
Vamos primeiro descartar as matrizes não quadradas:
N é 2times3 e T é 3times2, logo nenhuma delas pode ser nem simétrica nem antissimétrica.
Passo 3
Analisamos agora simultaneamente M,P,Q,R, todas 3times3 ou 2times2, mas que não se igualam à sua transposta:
Para M,
M^T = 1&0&00&1&01&0&1neq M,
além disso seus elementos diagonais são não nulos, o que impede M^T=-M. Logo M é nem simétrica nem antissimétrica.
O mesmo raciocínio vale para
P=2&-18&-4, Q=0&10&2, R=1&10&2,
pois em cada caso A^Tneq A e as diagonais não são todas zero, então também não satisfazem A^T=-A.
Passo 4
Analisamos O:
O = 0&11&0, O^T = 0&11&0=O,
portanto O é simétrica. Como seus elementos diagonais são zero, ainda poderíamos checar O^T=-O, mas vemos que O^T=Oneq -O, então não é antissimétrica.
Passo 5
Por fim, a matriz diagonal S:
S = a&00&b, S^T = a&00&b=S,
logo S é simétrica para quaisquer a,b. Para ser antissimétrica precisaríamos de S^T=-S, o que obriga a=b=0 (caso trivial).
Resposta
As matrizes simétricas são O e S.
Nenhuma das matrizes dadas é antissimétrica (exceto o caso trivial S quando a=b=0, mas isso não foi assumido).