Mostre que qualquer que seja o valor de a, o módulo do vetor (1 a, 1, a-2) é igual à área do paralelogramo definido pelos vetores u = (1,1,1) e v=(2, a, 1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer valor de a, o módulo do vetor
w = (,1 - a,;1,;a - 2,)
é igual à área do paralelogramo determinado pelos vetores
u = (1,1,1) e v = (2,a,1)
O conteúdo principal aqui é o produto vetorial, pois sabemos que a área de um paralelogramo gerado por u e v é
|,u times v|

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial u times v pela definição:
u times v = l(u2 v3 - u3 v2,;u3 v1 - u1 v3,;u1 v2 - u2 v1r)
Substituindo u = (1,1,1) e v=(2,a,1), temos
u times v = l(1cdot1 - 1cdot a,;1cdot2 - 1cdot1,;1cdot a - 1cdot2r) = (,1 - a,;2 - 1,;a - 2) = (,1 - a,;1,;a - 2)
Ou seja, o vetor w do enunciado é exatamente o vetor u times v.

Passo 3

Pela propriedade do produto vetorial, a área do paralelogramo de lados u e v é
|,u times v|
Como mostramos que
u times v = w = (,1 - a,;1,;a - 2),
segue-se imediatamente que
|w| = |,u times v| = área do para<=logramo >=rado por u e v á

Resposta

Portanto, para todo a, o módulo de (,1 - a,;1,;a - 2) coincide com a área do paralelogramo determinado por u e v.

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