Descreva, em termos de B^-1, as inversas das seguintes matrizes C, caso existam: C é obtida de B multiplicando a primeira linha de B por 2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz invertível B e que a matriz C é obtida de B multiplicando-se a primeira linha de B por 2. Queremos expressar C^-1 em função de B^-1.

Passo 2

Note que multiplicar a primeira linha de B por 2 é o mesmo que fazer
C = E,B,
onde E é a matriz elementar diagonal
E = diagl(2,1,1,dots,1r)

Passo 3

Como B é invertível e E também (já que seu determinante é 2neq0), temos
C^-1 = (E,B)^-1 = B^-1,E^-1

Passo 4

O inverso de E é
E^-1 = diagl(tfrac12,1,1,dots,1r),
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C^-1 = B^-1,diagl(tfrac12,1,1,dots,1r)
Em outras palavras, para obter C^-1 basta pegar B^-1 e multiplicar sua primeira coluna por tfrac12, deixando as outras colunas iguais.

Resposta

C^-1 = B^-1,diagl(tfrac12,1,1,dots,1r),
ou seja, C^-1 é B^-1 com a primeira coluna dividida por 2.

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