(3) Syam f(x)=lx^2+1, se x<2 x+3, se x >= 2 e g(x)=l1-x, se x<1 2 x, se x >= 1. Determine:
fcirc f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= x^2+1, &se x<2, x+3, &se x>=2,
e pede fcirc f, ou seja, f(f(x)). O conteúdo aqui é composição de funções definidas por partes: para cada x, primeiro calculamos f(x) e em seguida avaliamos f novamente nesse resultado, usando o ramo correspondente.

Passo 2

Vamos tratar separadamente os dois casos iniciais de f(x).
Caso A: x<2.
Então
f(x)=x^2+1
Para computar f(f(x)) precisamos decidir se t=x^2+1 está abaixo de 2 ou não. Resolvemos
x^2+1<2Long<=ftrightarrow x^2<1Long<=ftrightarrow -1<x<1
Logo subdividimos:
  • Se -1<x<1, então t=x^2+1<2 e usamos o primeiro ramo de f: f(f(x)) = fl(x^2+1r) = (,x^2+1,)^2+1 = x^4+2x^2+2
  • Se x< -1 ou 1<= x<2, então t=x^2+1>=2 e usamos o segundo ramo: f(f(x)) = fl(x^2+1r) = (x^2+1)+3 = x^2+4

Passo 3

Caso B: x>=2.
Aqui
f(x)=x+3,
e o argumento para a segunda aplicação é t=x+3. Como x>=2 implica t>=5>=2, usamos sempre o segundo ramo de f:
f(f(x)) = f(x+3) = (x+3)+3 = x+6

Resposta

Juntando tudo, ficamos com
(fcirc f)(x)= x^4+2x^2+2, &se -1<x<1, x^2+4, &se x<= -1 ou 1<= x<2, x+6, &se x>=2

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