Dadas as matrizes A, B, C, D e E, calcule as expressões solicitadas a seguir. Se for possível, apresente o resultado completo. Caso não seja possível, justifique claramente o motivo, indicando qual ou quais regras da álgebra matricial foi violada.
(b) \left(\mathrm{C}^{\mathrm{T}} \mathrm{B}\right) \mathrm{A}^{\mathrm{T}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão \left(\mathrm{C}^{\mathrm{T}} \mathrm{B}\right) \mathrm{A}^{\mathrm{T}} usando as matrizes fornecidas. Vou listar as matrizes e suas dimensões (essas dimensões são informações relevantes para saber se os produtos estão permitidos):
O que precisamos obter é \left(\mathrm{C}^{\mathrm{T}} \mathrm{B}\right) \mathrm{A}^{\mathrm{T}}. Não estou resolvendo ainda; apenas organizei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Antes de calcular, vamos verificar se os produtos são permitidos e lembrar a regra de multiplicação de matrizes (para eu e você ficarmos tranquilos).
Regra de multiplicação (explicando com calma): se X é uma matriz de tamanho m\times n e Y é uma matriz de tamanho n\times p, então o produto XY está definido e tem tamanho m\times p. Além disso, cada entrada do produto é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
ou seja, o elemento da linha i e coluna j de XY é a soma dos produtos dos elementos da linha i de X pelos elementos da coluna j de Y. Aqui m,n,p são números inteiros que representam as dimensões das matrizes; X_{ik} é o elemento da linha i coluna k de X, e Y_{kj} é o elemento da linha k coluna j de Y.
\mathrm{B} é 2\times2, então o produto \mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B} é (3\times2)\cdot(2\times2) que resulta em uma matriz 3\times2 — está definido. Em seguida, \mathrm{A}^{\mathrm{T}} tem dimensão 2\times3 (porque \mathrm{A} é 3\times2), então o produto (\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})\mathrm{A}^{\mathrm{T}} é (3\times2)\cdot(2\times3) e resulta em 3\times3 — também está definido. Portanto, o cálculo é possível.
Passo 3
Vamos calcular \mathrm{C}^{\mathrm{T}}. A matriz \mathrm{C} é
Produto (3\times2)\cdot(2\times2)\to 3\times2. Vou calcular linha a linha (cada entrada é produto escalar linha de \mathrm{C}^{\mathrm{T}} por coluna de \mathrm{B}):
Primeira linha de \mathrm{C}^{\mathrm{T}} é (1,3).