Considere as matrizes
\begin{gathered} \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right), \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right), \quad \mathrm{C}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right) \\\ \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right), \mathrm{E}=\left(\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right) \end{gathered}
Dadas as matrizes A, B, C, D e E, calcule as expressões solicitadas a seguir. Se for possível, apresente o resultado completo. Caso não seja possível, justifique claramente o motivo, indicando qual ou quais regras da álgebra matricial foi violada.
(b) \left(\mathrm{C}^{\mathrm{T}} \mathrm{B}\right) \mathrm{A}^{\mathrm{T}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \left(\mathrm{C}^{\mathrm{T}} \mathrm{B}\right) \mathrm{A}^{\mathrm{T}} usando as matrizes fornecidas. Vou listar as matrizes e suas dimensões (essas dimensões são informações relevantes para saber se os produtos estão permitidos):
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix},\qquad \mathrm{C}=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Dimensões (extraídas das matrizes acima):
\mathrm{A}\\ \text{é }3\times2,\qquad \mathrm{B}\\ \text{é }2\times2,\qquad \mathrm{C}\\ \text{é }2\times3.ééé
O que precisamos obter é \left(\mathrm{C}^{\mathrm{T}} \mathrm{B}\right) \mathrm{A}^{\mathrm{T}}. Não estou resolvendo ainda; apenas organizei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Antes de calcular, vamos verificar se os produtos são permitidos e lembrar a regra de multiplicação de matrizes (para eu e você ficarmos tranquilos).
Regra de multiplicação (explicando com calma): se X é uma matriz de tamanho m\times n e Y é uma matriz de tamanho n\times p, então o produto XY está definido e tem tamanho m\times p. Além disso, cada entrada do produto é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
ou seja, o elemento da linha i e coluna j de XY é a soma dos produtos dos elementos da linha i de X pelos elementos da coluna j de Y. Aqui m,n,p são números inteiros que representam as dimensões das matrizes; X_{ik} é o elemento da linha i coluna k de X, e Y_{kj} é o elemento da linha k coluna j de Y.
Aplicando essa regra às matrizes do problema:
\mathrm{C}\\ \text{é }2\times3 \implies \mathrm{C}^{\mathrm{T}}\\ \text{é }3\times2.éé
\mathrm{B} é 2\times2, então o produto \mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B} é (3\times2)\cdot(2\times2) que resulta em uma matriz 3\times2 — está definido. Em seguida, \mathrm{A}^{\mathrm{T}} tem dimensão 2\times3 (porque \mathrm{A} é 3\times2), então o produto (\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})\mathrm{A}^{\mathrm{T}} é (3\times2)\cdot(2\times3) e resulta em 3\times3 — também está definido. Portanto, o cálculo é possível.

Passo 3

Vamos calcular \mathrm{C}^{\mathrm{T}}. A matriz \mathrm{C} é
\mathrm{C}=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Transpor significa trocar linhas por colunas, logo
\mathrm{C}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 4 & 1 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix},
que é uma matriz 3\times2.]

Passo 4

Agora calculamos \mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B}. Escrevo as matrizes envolvidas:
\mathrm{C}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 4 & 1 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix},\qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Produto (3\times2)\cdot(2\times2)\to 3\times2. Vou calcular linha a linha (cada entrada é produto escalar linha de \mathrm{C}^{\mathrm{T}} por coluna de \mathrm{B}):
Primeira linha de \mathrm{C}^{\mathrm{T}} é (1,3).
(\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})_{11}=1\cdot4+3\cdot0=4,
(\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})_{12}=1\cdot(-1)+3\cdot2=-1+6=5.
Segunda linha (4,1):
(\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})_{21}=4\cdot4+1\cdot0=16,
(\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})_{22}=4\cdot(-1)+1\cdot2=-4+2=-2.
Terceira linha (2,5):
(\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})_{31}=2\cdot4+5\cdot0=8,
(\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})_{32}=2\cdot(-1)+5\cdot2=-2+10=8.
Portanto
\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B}=\begin{pmatrix}4 & 5 \\[4pt] 16 & -2 \\[4pt] 8 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos \mathrm{A}^{\mathrm{T}}. A matriz \mathrm{A} é
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] -1 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
logo
\mathrm{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}3 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 1\end{pmatrix},
que é 2\times3. (Observação: as colunas de \mathrm{A}^{\mathrm{T}} são (3,0)^{\mathrm{T}},(-1,2)^{\mathrm{T}},(1,1)^{\mathrm{T}}.)]

Passo 6

Finalmente calculamos (\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B})\mathrm{A}^{\mathrm{T}}. Temos
\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B}=\begin{pmatrix}4 & 5 \\[4pt] 16 & -2 \\[4pt] 8 & 8\end{pmatrix},\qquad \mathrm{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}3 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Produto (3\times2)\cdot(2\times3)\to 3\times3. Vou calcular cada entrada como produto escalar linha por coluna:
Linha 1 de \mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B} é (4,5).
(\cdot)_{11}=4\cdot3+5\cdot0=12,
(\cdot)_{12}=4\cdot(-1)+5\cdot2=-4+10=6,
(\cdot)_{13}=4\cdot1+5\cdot1=4+5=9.
Linha 2 é (16,-2).
(\cdot)_{21}=16\cdot3+(-2)\cdot0=48,
(\cdot)_{22}=16\cdot(-1)+(-2)\cdot2=-16-4=-20,
(\cdot)_{23}=16\cdot1+(-2)\cdot1=16-2=14.
Linha 3 é (8,8).
(\cdot)_{31}=8\cdot3+8\cdot0=24,
(\cdot)_{32}=8\cdot(-1)+8\cdot2=-8+16=8,
(\cdot)_{33}=8\cdot1+8\cdot1=8+8=16.
Assim o produto final é
\left(\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{B}\right)\mathrm{A}^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 12 & 6 & 9 \\[4pt] 48 & -20 & 14 \\[4pt] 24 & 8 & 16 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 12 & 6 & 9 \\[4pt] 48 & -20 & 14 \\[4pt] 24 & 8 & 16 \end{pmatrix}]

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