O enunciado dá duas matrizes e pede: decidir quais são inversíveis e, para cada matriz inversível, determinar sua inversa usando o método da matriz adjunta (adjugate). As matrizes fornecidas são
Informações relevantes dadas: as duas matrizes (uma 3\times3 e outra 4\times4). A tarefa é (a) verificar invertibilidade (ou seja, se o determinante é diferente de zero) e (b) quando invertível, encontrar \mathrm{A}^{-1} e/ou \mathrm{B}^{-1} pelo método da matriz adjunta.
Passo 2
Vou explicar o método da matriz adjunta (adjugate) devagarinho, porque é o coração da resolução. O método diz:
onde \operatorname{adj}(M) é a transposta da matriz de cofatores de M.
Definições que usamos:
Menor M_{ij} (não confundir com a letra usada para toda matriz): é a determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
Cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
Matriz de cofatores é a matriz formada por todos os C_{ij}.
\operatorname{adj}(M)=(\text{matriz de cofatores})^{T}.
Estratégia prática para calcular: 1) calcular \det(M). Se for zero, não é inversível. 2) calcular cada \det(M_{ij}) (usando simplificações como subtração de linhas/colunas, observação de linhas/colunas iguais, etc.), formar os cofatores C_{ij}, transpor para obter \operatorname{adj}(M) e dividir por \det(M).
Agora aplico isso em cada matriz passo a passo.
Passo 3
Calculo \det(\mathrm{A}) por expansão ou pela fórmula direta para 3\times3. Usando a primeira linha:
(Se quiser conferir rapidamente, pode multiplicar \mathrm{A}\mathrm{A}^{-1} e ver que dá a identidade.)
Passo 6
Agora \mathrm{B} é 4\times4. Uma forma eficiente de calcular \det(\mathrm{B}) é zerar a primeira coluna abaixo da primeira entrada subtraindo a primeira linha das outras três (essas operações do tipo R_i\leftarrow R_i-R_1 não mudam o valor do determinante). Aplicando R_2\leftarrow R_2-R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-R_1 obtemos (escrevo apenas para entender o cálculo do determinante):
As duas últimas determinantes com primeira coluna zero são zero, então fica
=2(7\cdot 1-8\cdot 1)=2(7-8)=2(-1)=-2.
Logo \det(\mathrm{B})=-2\neq 0. Conclusão: \mathrm{B} também é inversível.
Passo 7
Agora precisamos calcular a matriz de cofatores C_{ij} de \mathrm{B}. Vou listar cada menor M_{ij} (a submatriz 3\times3 obtida ao eliminar linha i e coluna j), calcular seu determinante e aplicar o sinal C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}). Nas contas a seguir uso observações que facilitam: subtração de linhas idênticas dentro do menor, ou notar colunas iguais (determinante zero).
Observação: para estes índices este menor é numericamente igual ao anterior (colunas 3 e 4 do original coincidem nos lugares relevantes), então \det(M_{34})=2. O sinal é (-1)^{3+4}=-, então C_{34}=-2.