Dadas as matrizes abaixo, decida quais são inversíveis. Para cada matriz inversível, determine sua inversa usando o método da matriz adjunta.
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 5 \\\\ -1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 4 & 3 \end{array}\right), \quad \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 5 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 8 & 9 \\\\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes e pede: decidir quais são inversíveis e, para cada matriz inversível, determinar sua inversa usando o método da matriz adjunta (adjugate). As matrizes fornecidas são
\mathrm{A}=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 5 \\\\ -1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 4 & 3 \end{pmatrix},\qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 5 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 8 & 9 \\\\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: as duas matrizes (uma 3\times3 e outra 4\times4). A tarefa é (a) verificar invertibilidade (ou seja, se o determinante é diferente de zero) e (b) quando invertível, encontrar \mathrm{A}^{-1} e/ou \mathrm{B}^{-1} pelo método da matriz adjunta.

Passo 2

Vou explicar o método da matriz adjunta (adjugate) devagarinho, porque é o coração da resolução. O método diz:
\text{se } \det(M)\neq 0,\quad M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M),
onde \operatorname{adj}(M) é a transposta da matriz de cofatores de M.
Definições que usamos:
  • Menor M_{ij} (não confundir com a letra usada para toda matriz): é a determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
  • Cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • Matriz de cofatores é a matriz formada por todos os C_{ij}.
  • \operatorname{adj}(M)=(\text{matriz de cofatores})^{T}.
Estratégia prática para calcular: 1) calcular \det(M). Se for zero, não é inversível. 2) calcular cada \det(M_{ij}) (usando simplificações como subtração de linhas/colunas, observação de linhas/colunas iguais, etc.), formar os cofatores C_{ij}, transpor para obter \operatorname{adj}(M) e dividir por \det(M).
Agora aplico isso em cada matriz passo a passo.

Passo 3

Calculo \det(\mathrm{A}) por expansão ou pela fórmula direta para 3\times3. Usando a primeira linha:
\det(\mathrm{A})= 2\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 4 & 3\end{pmatrix} -5\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix} +5\det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 4 & 3\end{pmatrix}=(-1)\cdot 3 - 0\cdot 4=-3,
\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}=(-1)\cdot 3 - 0\cdot 2=-3,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}=(-1)\cdot 4 -(-1)\cdot 2=-4+2=-2.
Substituindo:
\det(\mathrm{A})=2(-3)-5(-3)+5(-2)=-6+15-10=-1.
Como \det(\mathrm{A})=\!-1\neq 0, a matriz \mathrm{A} é inversível.

Passo 4

Agora calculo todos os cofatores C_{ij} de \mathrm{A}. Vou mostrar cada menor e o cofactor:
Para i=1:
C_{11}=+ \det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 4 & 3\end{pmatrix}=-3,
C_{12}=- \det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}=-(-3)=3,
C_{13}=+ \det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}=-2.
Para i=2:
C_{21}=- \det\begin{pmatrix}5 & 5 \\\\ 4 & 3\end{pmatrix}= - (5\cdot 3-5\cdot 4)= -(-5)=5,
C_{22}=+ \det\begin{pmatrix}2 & 5 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}=2\cdot 3-5\cdot 2=6-10=-4,
C_{23}=- \det\begin{pmatrix}2 & 5 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}= - (2\cdot 4-5\cdot 2)= -(-2)=2.
Para i=3:
C_{31}=+ \det\begin{pmatrix}5 & 5 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}=5\cdot 0-5\cdot(-1)=5,
C_{32}=- \det\begin{pmatrix}2 & 5 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}= - (2\cdot 0-5\cdot(-1))= -5=-5,
C_{33}=+ \det\begin{pmatrix}2 & 5 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-5\cdot(-1)=-2+5=3.
Portanto a matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} -3 & 3 & -2 \\\\ 5 & -4 & 2 \\\\ 5 & -5 & 3 \end{pmatrix}.
A adjunta (adjugate) é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(\mathrm{A})= \begin{pmatrix} -3 & 5 & 5 \\\\ 3 & -4 & -5 \\\\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Usando \mathrm{A}^{-1}=\dfrac{1}{\det(\mathrm{A})}\operatorname{adj}(\mathrm{A}) e \det(\mathrm{A})=-1, temos
\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{-1}\operatorname{adj}(\mathrm{A})=-\operatorname{adj}(\mathrm{A}).
Multiplicando por -1:
\mathrm{A}^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -5 & -5 \\\\ -3 & 4 & 5 \\\\ 2 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
(Se quiser conferir rapidamente, pode multiplicar \mathrm{A}\mathrm{A}^{-1} e ver que dá a identidade.)

Passo 6

Agora \mathrm{B} é 4\times4. Uma forma eficiente de calcular \det(\mathrm{B}) é zerar a primeira coluna abaixo da primeira entrada subtraindo a primeira linha das outras três (essas operações do tipo R_i\leftarrow R_i-R_1 não mudam o valor do determinante). Aplicando R_2\leftarrow R_2-R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-R_1 obtemos (escrevo apenas para entender o cálculo do determinante):
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 7 & 8\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora expandindo pelo primeiro coluna (apenas a primeira linha tem elemento não nulo nessa coluna), obtemos
\det(\mathrm{B})=1\cdot \det\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\\\ 0 & 7 & 8\\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo desse 3\times3:
\det\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\\\ 0 & 7 & 8\\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} =2\det\begin{pmatrix}7 & 8\\\\ 1 & 1\end{pmatrix}-1\det\begin{pmatrix}0 & 8\\\ 0 & 1\end{pmatrix}+1\det\begin{pmatrix}0 & 7\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
As duas últimas determinantes com primeira coluna zero são zero, então fica
=2(7\cdot 1-8\cdot 1)=2(7-8)=2(-1)=-2.
Logo \det(\mathrm{B})=-2\neq 0. Conclusão: \mathrm{B} também é inversível.

Passo 7

Agora precisamos calcular a matriz de cofatores C_{ij} de \mathrm{B}. Vou listar cada menor M_{ij} (a submatriz 3\times3 obtida ao eliminar linha i e coluna j), calcular seu determinante e aplicar o sinal C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}). Nas contas a seguir uso observações que facilitam: subtração de linhas idênticas dentro do menor, ou notar colunas iguais (determinante zero).
Cofatores da primeira linha ( i=1):
  • C_{11}: eliminar linha 1 coluna 1 dá
M_{11}=\begin{pmatrix}5 & 2 & 2\\\\ 3 & 8 & 9\\\\ 3 & 2 & 2\end{pmatrix}.
Calculo: reduzindo (linha2 - linha3) para simplificar, obtive \det(M_{11})=-4. O sinal é +, então C_{11}=-4.
  • C_{12}: eliminar linha1 coluna2 dá
M_{12}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2\\\\ 1 & 8 & 9\\\\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}.
Aqui as linhas 1 e 3 são iguais, então \det(M_{12})=0. Com sinal C_{12}=-0=0.
  • C_{13}: eliminar linha1 coluna3 dá
M_{13}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2\\\\ 1 & 3 & 9\\\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}.
Subtraindo a primeira linha das outras (para zerar a primeira coluna), obtive \det(M_{13})=14. Com sinal + (pois 1+3 é par), C_{13}=14.
  • C_{14}: eliminar linha1 coluna4 dá
M_{14}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2\\\\ 1 & 3 & 8\\\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}.
De modo análogo, \det(M_{14})=12. O sinal é (-1)^{1+4}=-, então C_{14}=-12.
Cofatores da segunda linha ( i=2):
  • C_{21}: eliminar linha2 coluna1 dá
M_{21}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\\\ 3 & 8 & 9\\\\ 3 & 2 & 2\end{pmatrix}.
Subtraindo a primeira linha das outras, obtive \det(M_{21})=-3. O sinal é (-1)^{2+1}=-, logo C_{21}=3.
  • C_{22}: eliminar linha2 coluna2 dá
M_{22}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\\\ 1 & 8 & 9\\\\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}.
Subtraindo a primeira linha das outras, \det(M_{22})=-1. Sinal +, então C_{22}=-1.
  • C_{23}: eliminar linha2 coluna3 dá
M_{23}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1\\\\ 1 & 3 & 9\\\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}.
Note que a segunda coluna é 3 vezes a primeira (coluna2 = 3\cdotcoluna1) dentro deste menor, então \det(M_{23})=0. Sinal -, então C_{23}=0.
  • C_{24}: eliminar linha2 coluna4 dá
M_{24}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1\\\\ 1 & 3 & 8\\\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}.
Mesma observação (coluna2 = 3\cdotcoluna1) implica \det(M_{24})=0. Sinal +, então C_{24}=0.
Cofatores da terceira linha ( i=3):
  • C_{31}: eliminar linha3 coluna1 dá
M_{31}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\\\ 5 & 2 & 2\\\\ 3 & 2 & 2\end{pmatrix}.
Cálculo direto dá \det(M_{31})=0. Sinal + (pois 3+1 é par), então C_{31}=0.
  • C_{32}: eliminar linha3 coluna2 dá
M_{32}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 2\\\\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}.
Aqui duas linhas iguais (linhas 2 e 3 do menor), então \det(M_{32})=0. Sinal -, logo C_{32}=0.
  • C_{33}: eliminar linha3 coluna3 dá
M_{33}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1\\\\ 1 & 5 & 2\\\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}.
Subtraindo a primeira linha das outras, obtive \det(M_{33})=2. Sinal +, então C_{33}=2.
  • C_{34}: eliminar linha3 coluna4 dá
M_{34}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1\\\\ 1 & 5 & 2\\\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}.
Observação: para estes índices este menor é numericamente igual ao anterior (colunas 3 e 4 do original coincidem nos lugares relevantes), então \det(M_{34})=2. O sinal é (-1)^{3+4}=-, então C_{34}=-2.
Cofatores da quarta linha ( i=4):
  • C_{41}: eliminar linha4 coluna1 dá
M_{41}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\\\ 5 & 2 & 2\\\\ 3 & 8 & 9\end{pmatrix},
cujo determinante calculei como 1. Sinal (-1)^{4+1}=-, então C_{41}=-1.
  • C_{42}: eliminar linha4 coluna2 dá
M_{42}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 2\\\\ 1 & 8 & 9\end{pmatrix},
cujo determinante é 1. Sinal +, então C_{42}=1.
  • C_{43}: eliminar linha4 coluna3 dá
M_{43}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1\\\\ 1 & 5 & 2\\\\ 1 & 3 & 9\end{pmatrix},
cujo determinante calculei como 16. Sinal (-1)^{4+3}=-, então C_{43}=-16.
  • C_{44}: eliminar linha4 coluna4 dá
M_{44}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1\\\\ 1 & 5 & 2\\\\ 1 & 3 & 8\end{pmatrix},
cujo determinante é 14. Sinal +, então C_{44}=14.

Passo 8

Montando a matriz de cofatores C=(C_{ij}) (linhas na ordem i=1 a 4):
C=\begin{pmatrix} -4 & 0 & 14 & -12 \\\\ 3 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & -2 \\\\ -1 & 1 & -16 & 14 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta:
\operatorname{adj}(\mathrm{B})=C^{T}= \begin{pmatrix} -4 & 3 & 0 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 & 1 \\\\ 14 & 0 & 2 & -16 \\\\ -12 & 0 & -2 & 14 \end{pmatrix}.
Como \det(\mathrm{B})=-2, a inversa é
\mathrm{B}^{-1}=\frac{1}{-2}\operatorname{adj}(\mathrm{B})=-\frac{1}{2}\operatorname{adj}(\mathrm{B}).
Multiplicando e simplificando entramos na forma final:
\mathrm{B}^{-1}= \begin{pmatrix} 2 & -\tfrac{3}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \\\\ 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & -\tfrac{1}{2} \\\\ -7 & 0 & -1 & 8 \\\\ 6 & 0 & 1 & -7 \end{pmatrix}.

Resposta

\mathrm{A} é inversível e \mathrm{A}^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -5 & -5 \\\\ -3 & 4 & 5 \\\\ 2 & -2 & -3\end{pmatrix}
\mathrm{B} é inversível e \mathrm{B}^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -\tfrac{3}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] -7 & 0 & -1 & 8 \\[4pt] 6 & 0 & 1 & -7\end{pmatrix}\]

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