Considere as matrizes
\begin{gathered} \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right), \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right), \quad \mathrm{C}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right) \\\ \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right), \mathrm{E}=\left(\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right) \end{gathered}
Dadas as matrizes A, B, C, D e E, calcule as expressões solicitadas a seguir. Se for possível, apresente o resultado completo. Caso não seja possível, justifique claramente o motivo, indicando qual ou quais regras da álgebra matricial foi violada.
(a) (3 \mathrm{E}) \mathrm{D}

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a expressão (3\mathrm{E})\mathrm{D}.
Informações dadas (dados do enunciado):
\mathrm{D}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 3 & 2 & 4\end{pmatrix},\qquad \mathrm{E}=\begin{pmatrix}6 & 1 & 3\\\\ -1 & 1 & 2\\\\ 4 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Tamanhos das matrizes: \mathrm{D} é 3\times3 e \mathrm{E} é 3\times3.
Pergunta concreta: calcular o produto (3\mathrm{E})\mathrm{D} e apresentar o resultado completo (se possível).

Passo 2

Observação sobre regras que vou usar (sem resolver ainda): existe uma propriedade muito útil da álgebra matricial envolvendo multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes. Para qualquer escalar k e matrizes A e B com dimensões compatíveis vale
(kA)B = k(AB).
Isto significa que multiplicar a matriz A por um escalar k antes de multiplicar por B é equivalente a multiplicar A por B e depois multiplicar o resultado por k. Vou usar isto para simplificar os cálculos de (3\mathrm{E})\mathrm{D} escrevendo
(3\mathrm{E})\mathrm{D} = 3(\mathrm{E}\mathrm{D}).

Passo 3

Definição prática de multiplicação de matrizes que vou aplicar: se A é m\times n e B é n\times p, então o produto AB é uma matriz m\times p com entradas dadas por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}.
Aqui cada entrada do produto é o produto escalar (dot product) entre a i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B. No nosso caso n=3 porque tanto \mathrm{E} quanto \mathrm{D} são 3\times3.

Passo 4

Vamos calcular primeiro \mathrm{E}\mathrm{D}. Vou indicar explicitamente cada entrada (\mathrm{E}\mathrm{D})_{ij} como soma de três termos, porque as matrizes são 3\times3.
As linhas de \mathrm{E} são:
\text{linha 1 de }\mathrm{E}=(6,1,3),\quad \text{linha 2 de }\mathrm{E}=(-1,1,2),\quad \text{linha 3 de }\mathrm{E}=(4,1,3).
As colunas de \mathrm{D} são:
\text{coluna 1 de }\mathrm{D}=(1,-1,3),\quad \text{coluna 2 de }\mathrm{D}=(5,0,2),\quad \text{coluna 3 de }\mathrm{D}=(2,1,4).

Passo 5

Calculando (\mathrm{E}\mathrm{D})_{11} — produto da linha 1 de \mathrm{E} pela coluna 1 de \mathrm{D}:
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{11}=6\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 3\cdot 3.
Fazendo as contas:
6\cdot 1 = 6,\quad 1\cdot(-1)=-1,\quad 3\cdot 3=9,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{11}=6-1+9=14.

Passo 6

Calculando (\mathrm{E}\mathrm{D})_{12} — linha 1 de \mathrm{E} pela coluna 2 de \mathrm{D}:
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{12}=6\cdot 5 + 1\cdot 0 + 3\cdot 2.
Contas:
6\cdot 5 = 30,\quad 1\cdot 0 = 0,\quad 3\cdot 2 = 6,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{12}=30+0+6=36.

Passo 7

Calculando (\mathrm{E}\mathrm{D})_{13} — linha 1 de \mathrm{E} pela coluna 3 de \mathrm{D}:
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{13}=6\cdot 2 + 1\cdot 1 + 3\cdot 4.
Contas:
6\cdot 2 = 12,\quad 1\cdot 1 = 1,\quad 3\cdot 4 = 12,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{13}=12+1+12=25.

Passo 8

Primeira linha do produto \mathrm{E}\mathrm{D} ficou:
\big((\mathrm{E}\mathrm{D})_{11},(\mathrm{E}\mathrm{D})_{12},(\mathrm{E}\mathrm{D})_{13}\big)=(14,36,25).

Passo 9

Agora segunda linha: (\mathrm{E}\mathrm{D})_{21}, produto da linha 2 de \mathrm{E}=(-1,1,2) pela coluna 1 de \mathrm{D}=(1,-1,3):
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{21}=(-1)\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 2\cdot 3.
Contas:
(-1)\cdot 1 = -1,\quad 1\cdot(-1)=-1,\quad 2\cdot 3 = 6,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{21}=-1-1+6=4.

Passo 10

Continuando segunda linha, (\mathrm{E}\mathrm{D})_{22} (linha 2 de \mathrm{E} pela coluna 2 de \mathrm{D}):
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{22}=(-1)\cdot 5 + 1\cdot 0 + 2\cdot 2.
Contas:
(-1)\cdot 5 = -5,\quad 1\cdot 0 = 0,\quad 2\cdot 2 = 4,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{22}=-5+0+4=-1.

Passo 11

Ainda segunda linha, (\mathrm{E}\mathrm{D})_{23} (linha 2 de \mathrm{E} pela coluna 3 de \mathrm{D}):
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{23}=(-1)\cdot 2 + 1\cdot 1 + 2\cdot 4.
Contas:
(-1)\cdot 2 = -2,\quad 1\cdot 1 = 1,\quad 2\cdot 4 = 8,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{23}=-2+1+8=7.

Passo 12

Segunda linha do produto \mathrm{E}\mathrm{D} ficou:
\big((\mathrm{E}\mathrm{D})_{21},(\mathrm{E}\mathrm{D})_{22},(\mathrm{E}\mathrm{D})_{23}\big)=(4,-1,7).

Passo 13

Terceira linha: use a linha 3 de \mathrm{E}=(4,1,3).
Cálculo de (\mathrm{E}\mathrm{D})_{31} (linha 3 pela coluna 1):
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{31}=4\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 3\cdot 3.
Contas:
4\cdot 1 = 4,\quad 1\cdot(-1)=-1,\quad 3\cdot 3 = 9,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{31}=4-1+9=12.

Passo 14

Cálculo de (\mathrm{E}\mathrm{D})_{32} (linha 3 pela coluna 2):
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{32}=4\cdot 5 + 1\cdot 0 + 3\cdot 2.
Contas:
4\cdot 5 = 20,\quad 1\cdot 0 = 0,\quad 3\cdot 2 = 6,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{32}=20+0+6=26.

Passo 15

Cálculo de (\mathrm{E}\mathrm{D})_{33} (linha 3 pela coluna 3):
(\mathrm{E}\mathrm{D})_{33}=4\cdot 2 + 1\cdot 1 + 3\cdot 4.
Contas:
4\cdot 2 = 8,\quad 1\cdot 1 = 1,\quad 3\cdot 4 = 12,
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(\mathrm{E}\mathrm{D})_{33}=8+1+12=21.

Passo 16

Terceira linha do produto \mathrm{E}\mathrm{D} ficou:
\big((\mathrm{E}\mathrm{D})_{31},(\mathrm{E}\mathrm{D})_{32},(\mathrm{E}\mathrm{D})_{33}\big)=(12,26,21).

Passo 17

Reunindo todas as linhas, o produto \mathrm{E}\mathrm{D} é a matriz
\mathrm{E}\mathrm{D}=\begin{pmatrix}14 & 36 & 25\\[4pt] 4 & -1 & 7\\[4pt] 12 & 26 & 21\end{pmatrix}.]

Passo 18

Agora aplicamos o escalar 3 ao produto, usando a propriedade de multiplicação por escalar: (3\mathrm{E})\mathrm{D}=3(\mathrm{E}\mathrm{D}). Multiplicamos cada entrada de \mathrm{E}\mathrm{D} por 3.
Calculando entrada a entrada:
3\cdot 14 = 42,\quad 3\cdot 36 = 108,\quad 3\cdot 25 = 75,
3\cdot 4 = 12,\quad 3\cdot(-1) = -3,\quad 3\cdot 7 = 21,
3\cdot 12 = 36,\quad 3\cdot 26 = 78,\quad 3\cdot 21 = 63.

Passo 19

Portanto o resultado final é a matriz
(3\mathrm{E})\mathrm{D}=\begin{pmatrix} 42 & 108 & 75\\[4pt] 12 & -3 & 21\\[4pt] 36 & 78 & 63 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 42 & 108 & 75\\\\ 12 & -3 & 21\\\\ 36 & 78 & 63 \end{pmatrix}

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