Dadas as matrizes A, B, C, D e E, calcule as expressões solicitadas a seguir. Se for possível, apresente o resultado completo. Caso não seja possível, justifique claramente o motivo, indicando qual ou quais regras da álgebra matricial foi violada.
(a) (3 \mathrm{E}) \mathrm{D}
Passo 1
O que o exercício pede: calcular a expressão (3\mathrm{E})\mathrm{D}.
Tamanhos das matrizes: \mathrm{D} é 3\times3 e \mathrm{E} é 3\times3.
Pergunta concreta: calcular o produto (3\mathrm{E})\mathrm{D} e apresentar o resultado completo (se possível).
Passo 2
Observação sobre regras que vou usar (sem resolver ainda): existe uma propriedade muito útil da álgebra matricial envolvendo multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes. Para qualquer escalar k e matrizes A e B com dimensões compatíveis vale
(kA)B = k(AB).
Isto significa que multiplicar a matriz A por um escalar k antes de multiplicar por B é equivalente a multiplicar A por B e depois multiplicar o resultado por k. Vou usar isto para simplificar os cálculos de (3\mathrm{E})\mathrm{D} escrevendo
Definição prática de multiplicação de matrizes que vou aplicar: se A é m\times n e B é n\times p, então o produto AB é uma matriz m\times p com entradas dadas por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}.
Aqui cada entrada do produto é o produto escalar (dot product) entre a i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B. No nosso caso n=3 porque tanto \mathrm{E} quanto \mathrm{D} são 3\times3.
Passo 4
Vamos calcular primeiro \mathrm{E}\mathrm{D}. Vou indicar explicitamente cada entrada (\mathrm{E}\mathrm{D})_{ij} como soma de três termos, porque as matrizes são 3\times3.
As linhas de \mathrm{E} são:
\text{linha 1 de }\mathrm{E}=(6,1,3),\quad \text{linha 2 de }\mathrm{E}=(-1,1,2),\quad \text{linha 3 de }\mathrm{E}=(4,1,3).
As colunas de \mathrm{D} são:
\text{coluna 1 de }\mathrm{D}=(1,-1,3),\quad \text{coluna 2 de }\mathrm{D}=(5,0,2),\quad \text{coluna 3 de }\mathrm{D}=(2,1,4).
Passo 5
Calculando (\mathrm{E}\mathrm{D})_{11} — produto da linha 1 de \mathrm{E} pela coluna 1 de \mathrm{D}:
Agora aplicamos o escalar 3 ao produto, usando a propriedade de multiplicação por escalar: (3\mathrm{E})\mathrm{D}=3(\mathrm{E}\mathrm{D}). Multiplicamos cada entrada de \mathrm{E}\mathrm{D} por 3.