Considere as matrizes
A=[ccc 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6 ], E1=[ccc 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ], E2=[ccc 1 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 1 ], E3=[ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ]
Verifique que fazer a seguinte operação L2: L2+5 L1 com as linhas de A é o mesmo que multiplicar a matriz A por E1, ou seja, E1 cdot A. Calcule det(A) e det(E1 cdot A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6
e a matriz elementar
E1 = 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 0 & 0 & 1
que, por construção, implementa a operação de linha L2 L2+5L1 quando multiplicada à esquerda de A. O conteúdo é matrizes elementares e determinante. Vamos (1) verificar que E1A equivale a fazer L2+5L1 em A e (2) calcular det(A) e det(E1A).

Passo 2

Para ver que E1A faz L2 L2+5L1, calculamos
E1A = 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6
A primeira linha de E1A é igual à primeira linha de A. A segunda linha é
5cdot(1,4,1)+(-5,-2,-9)=(5,-)+(-5,-2,-9)=(0,20-2,5-9)=(0,18,-4),
isto é exatamente L2+5L1. A terceira linha fica igual à terceira de A. Logo
E1A = 1 & 4 & 1 0 & 18 & -4 7 & 8 & 6 ,
confirmando que E1A aplica L2 L2+5L1.

Passo 3

Agora calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet-2 & -98 & 6 -4cdotdet-5 & -97 & 6 +1cdotdet-5 & -27 & 8
Cada menor é
det-2 & -98 & 6 =(-2)cdot6-(-9)cdot8= -12+72=60,
det-5 & -97 & 6 =(-5)cdot6-(-9)cdot7= -30+63=33,
det-5 & -27 & 8 =(-5)cdot8-(-2)cdot7= -40+14=-26
Substituindo,
det(A)=1cdot60-4cdot33+1cdot(-26)=60-132-26=-98

Passo 4

Como a operação de E1 é adicionar múltiplo de uma linha em outra, sabe-se que det(E1)=1. E vale a propriedade
det(E1A)=det(E1)det(A)=1cdotl(-98r)=-98

Resposta

det(A)=-98
det(E1A)=-98

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