Considere as matrizes
A=[ccc 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6 ], E1=[ccc 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ], E2=[ccc 1 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 1 ], E3=[ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ]
Verifique que fazer a seguinte operação: L2: 12 L2 com as linhas de A é o mesmo que multiplicar a matriz A por E2, ou seja, E2 cdot A. Calcule det(A) e det(E2 cdot A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6
e a matriz elementar
E2= 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 1
Sabemos que multiplicar A por E2 à esquerda corresponde a aplicar a operação de linha
L2:;L2mapstotfrac12,L2
na matriz A. Para resolvermos, vamos (1) verificar esse efeito por multiplicação e (2) calcular det(A) e det(E2A).

Passo 2

Calculemos
E2A = 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6 = 1 & 4 & 1 -tfrac52 & -1 & -tfrac92 7 & 8 & 6
Essa é exatamente a matriz que se obtém fazendo em A a operação de linha L2mapstotfrac12,L2.

Passo 3

Para det(A) usamos desenvolvimento pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet-2 & -98 & 6 -4cdotdet-5 & -97 & 6 +1cdotdet-5 & -27 & 8
Agora,
det-2 & -98 & 6 =(-2)cdot6-(-9)cdot8= -12+72=60,
det-5 & -97 & 6 =(-5)cdot6-(-9)cdot7= -30+63=33,
det-5 & -27 & 8 =(-5)cdot8-(-2)cdot7= -40+14=-26
Portanto,
det(A)=1cdot60-4cdot33+1cdot(-26)=60-132-26=-98

Passo 4

Como det(E2)=tfrac12 (é diagonal com entradas 1,tfrac12,1), vale
det(E2A)=det(E2)cdotdet(A)=tfrac12cdot(-98)=-49

Resposta

det(A)=-98
det(E2A)=-49

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