O diretor de uma empresa quer usar uma metodologia referente à pesquisa de satisfação que é mensurada em uma escala de 1 a 10. A fim de fazer um teste com essa metodologia, ele pediu para que quatro de seus funcionários respondessem a uma pesquisa em relação à avaliação de um determinado produto, ao suporte oferecido e às opções de pagamento. A cada um desses itens é atribuído um peso e , respectivamente. O quadro abaixo mostra a pontuação obtida em cada item e o resultado final de cada um dos funcionários.
Produto Suporte oferecido Opções de pagamento Resultado final
funcionário 3 6 5 5
funcionário 7 8 6 7
funcionário 4 7 6 6
funcionário 1 7 5 4
A média ponderada de todos os itens indicará o resultado final. Calcula-se a média ponderada somando-se os produtos das notas de cada item pelo seu respectivo peso e dividindo-se a soma assim obtida pela soma dos pesos. O diretor percebeu que se o resultado dos três primeiros funcionários estivesse correto, o resultado do quarto funcionário estaria incorreto. Qual seria então o resultado final do quarto funcionário?

Passo 1

O enunciado nos dá três itens avaliados em escala de 1 a 10 (produto, suporte e opções de pagamento) com pesos x,y,z. Para cada funcionário o resultado final é a média ponderada desses itens. Sabemos que os resultados dos três primeiros funcionários estão corretos, ou seja:
xcdot ai + ycdot bi + zcdot cix+y+z = ri
para i=1,2,3. Nosso objetivo é usar essas três equações para descobrir a relação entre x,y,z e então recalcular o resultado do quarto funcionário.

Passo 2

Para cada um dos três primeiros funcionários escrevemos
x,(ai - ri) + y,(bi - ri) + z,(ci - ri) = 0
Isso gera:
Para o 1^rm o:
x(3-5) + y(6-5) + z(5-5) = -2x + y = 0
Para o 2^rm o:
x(7-7) + y(8-7) + z(6-7) = y - z = 0
Para o 3^rm o:
x(4-6) + y(7-6) + z(6-6) = -2x + y = 0

Passo 3

Das equações -2x + y = 0 e y - z = 0 concluímos:
y = 2x e z = y = 2x
Portanto, os pesos são proporcionais a
x:y:z = 1:2:2

Passo 4

Agora calculamos a média ponderada para o quarto funcionário (notas 1, 7 e 5):
a soma ponderada é
xcdot1 + ycdot7 + zcdot5 = x + 2xcdot7 + 2xcdot5 = 1x + 14x + 10x = 25x,
a soma dos pesos é
x + y + z = x + 2x + 2x = 5x
Logo, a média ponderada é
25x5x = 5

Resposta

5

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