Verifique que fazer a operação de trocar as linhas L2 e L3 é o mesmo que multiplicar a matriz A por E3, ou seja, E3 cdot A. Calcule det(A) e det(E3 cdot A).
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
A = 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6
e a matriz elementar
E3 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ,
que pela definição troca as linhas 2 e 3 de qualquer matriz que multipliquemos à direita. O conteúdo aqui é entender como operações elementares de linha afetam o determinante.
Passo 2
Vamos verificar que E3cdot A efetivamente troca L2 e L3 de A. Basta calcular o produto por linhas de E3:
– A primeira linha de E3 é (1,0,0), então a primeira linha de E3A fica igual à primeira linha de A, ou seja (1,4,1).
– A segunda linha de E3 é (0,0,1), então a segunda linha de E3A é a terceira linha de A, ou seja (7,8,6).
– A terceira linha de E3 é (0,1,0), então a terceira linha de E3A é a segunda linha de A, ou seja (-5,-2,-9).
Logo
E3A = 1 & 4 & 1 7 & 8 & 6 -5 & -2 & -9 ,
que é exatamente A com L2 e L3 trocadas.
Passo 3
Agora vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha. Usando