Considere as matrizes
A=[ccc 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6 ], E1=[ccc 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ], E2=[ccc 1 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 1 ], E3=[ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ]
Verifique que fazer a operação de trocar as linhas L2 e L3 é o mesmo que multiplicar a matriz A por E3, ou seja, E3 cdot A. Calcule det(A) e det(E3 cdot A).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz
A = 1 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6
e a matriz elementar
E3 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ,
que pela definição troca as linhas 2 e 3 de qualquer matriz que multipliquemos à direita. O conteúdo aqui é entender como operações elementares de linha afetam o determinante.

Passo 2

Vamos verificar que E3cdot A efetivamente troca L2 e L3 de A. Basta calcular o produto por linhas de E3:
– A primeira linha de E3 é (1,0,0), então a primeira linha de E3A fica igual à primeira linha de A, ou seja (1,4,1).
– A segunda linha de E3 é (0,0,1), então a segunda linha de E3A é a terceira linha de A, ou seja (7,8,6).
– A terceira linha de E3 é (0,1,0), então a terceira linha de E3A é a segunda linha de A, ou seja (-5,-2,-9).
Logo
E3A = 1 & 4 & 1 7 & 8 & 6 -5 & -2 & -9 ,
que é exatamente A com L2 e L3 trocadas.

Passo 3

Agora vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha. Usando
det(A) = 1cdotdet-2 & -98 & 6 -4cdotdet-5 & -97 & 6 +1cdotdet-5 & -27 & 8,
temos
det-2 & -98 & 6 = (-2)cdot6 - (-9)cdot8 = -12 +72 = 60,
det-5 & -97 & 6 = (-5)cdot6 - (-9)cdot7 = -30 +63 = 33,
det-5 & -27 & 8 = (-5)cdot8 - (-2)cdot7 = -40 +14 = -26
Substituindo,
det(A) = 1cdot60 -4cdot33 +1cdot(-26) = 60 -132 -26 = -98

Passo 4

Para det(E3A) usamos que trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Como det(E3) = -1, vale
det(E3A) = det(E3);det(A) = (-1)cdot(-98) = 98

Resposta

det(A) = -98
det(E3A) = 98

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