Verifique que as matrizes abaixo são inversas uma da outra
Se tiver folego, encontre a inversa via o método da matriz adjunta e redescubra a matriz B.
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes A e B de ordem 4 e pede para verificar que elas são inversas uma da outra, isto é,
A,B = I4 e B,A = I4
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes para verificar a inversão e, em seguida, usar o método da matriz adjunta (cofatores e determinante) para reproduzir B como A^-1.
e assim por diante para todas as entradas. Repetindo para cada coluna, obtemos
A,B = 1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&1 =I4
Passo 3
Como A,B=I4 e ambas matrizes são quadradas, segue que B=A^-1. Para ter certeza completa, poderíamos checar também B,A, mas num espaço de ordens finitas basta um dos dois.
Passo 4
Concluímos portanto que
B = A^-1
Passo 5
Agora, pelo método da matriz adjunta, temos
A^-1 = 1det(A),adj(A),
onde adj(A)=l(Cjir) é a transposta da matriz de cofatores Cij=(-1)^i+jMij, e Mij é o determinante do menor obtido ao riscar a linha i e a coluna j.
Passo 6
Cálculo de det(A) (por expansão na primeira linha):