Verifique que as matrizes abaixo são inversas uma da outra
A=[cccc -2 & -1 & 0 & 2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2 ], B=[cccc 1 & -1 & 0 & 2 -1 & 2 & 2 & 0 0 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 2 ]
Se tiver folego, encontre a inversa via o método da matriz adjunta e redescubra a matriz B.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B de ordem 4 e pede para verificar que elas são inversas uma da outra, isto é,
A,B = I4 e B,A = I4
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes para verificar a inversão e, em seguida, usar o método da matriz adjunta (cofatores e determinante) para reproduzir B como A^-1.

Passo 2

Vamos calcular o produto A,B. Usando a definição
(A,B)ij=sumk=1^4Aik,Bkj,
vemos, por exemplo, na primeira linha:
(A,B)11=(-2)cdot1+(-1)cdot(-1)+0cdot0+2cdot1=-2+1+0+2=1,
(A,B)12=(-2)cdot(-1)+(-1)cdot2+0cdot(-1)+2cdot0=2-2+0+0=0,
e assim por diante para todas as entradas. Repetindo para cada coluna, obtemos
A,B = 1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&1 =I4

Passo 3

Como A,B=I4 e ambas matrizes são quadradas, segue que B=A^-1. Para ter certeza completa, poderíamos checar também B,A, mas num espaço de ordens finitas basta um dos dois.

Passo 4

Concluímos portanto que
B = A^-1

Passo 5

Agora, pelo método da matriz adjunta, temos
A^-1 = 1det(A),adj(A),
onde adj(A)=l(Cjir) é a transposta da matriz de cofatores Cij=(-1)^i+jMij, e Mij é o determinante do menor obtido ao riscar a linha i e a coluna j.

Passo 6

  1. Cálculo de det(A) (por expansão na primeira linha):
det(A)=(-2),C11+(-1),C12+0cdot C13+2,C14=-2cdot(-1)+(-1)cdot1+2cdot(-1)= -1
  1. Cálculo dos cofatores Cij. Por exemplo,
M11=det1&-2&-2-1&2&31&-1&-2=-1, C11=(-1)^2,M11=-1,
M12=det3&-2&-2-4&2&33&-1&-2=-1, C12=(-1)^3,M12=1,
e assim por diante para todos os 16 cofatores.
3. Montando a matriz de cofatores C=(Cij) e transpondo, obtemos
adj(A)=C^T = -,B
  1. Finalmente,
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 1-1,(-B) = B

Resposta

Verificamos que
A,B = I4,
logo B=A^-1. Pelo método da matriz adjunta, chegamos de novo em
A^-1=B

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