Considere as matrizes
A=(cccc 0 & 0 & 0 & -3 1 & 2 & 3 & 4 -1 & 3 & 2 & 5 2 & 1 & -2 & 0 ) B=(cccc 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1 ) C=(llll 2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 3 )
Calcule, se possível, suas inversas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as inversas das matrizes 4×4 A, B e C, ou verificar que não existem. O conteúdo é “inversão de matrizes” e vamos usar o método de Gauss–Jordan (ou, alternativamente, cofatores e determinante) para cada uma delas. Primeiro, precisamos checar se det(A), det(B) e det© são não nulos.

Passo 2

Calcular det(A), det(B) e det© para ver se cada matriz é invertível. Expansão de A pela primeira linha dá det(A)=–75≠0. Pela eliminação de B obtemos det(B)=39≠0. Pela expansão de C pela primeira linha obtemos det©=4≠0. Concluímos que todas são invertíveis.

Passo 3

Para achar A⁻¹ fazemos a eliminação de [A|I₄] a forma reduzida e obtemos finalmente
A^-1= -tfrac125 & tfrac825 & -tfrac725 & tfrac15 tfrac2675 & tfrac825 & tfrac15 & 0 tfrac1375 & tfrac725 & -tfrac325 & -tfrac15 -tfrac13 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Para B⁻¹ repetimos o mesmo procedimento (Gauss–Jordan em [B|I₄]) ou usamos adj(B)/det(B). O resultado final é
B^-1=139 -2 & 6 & -4 & 2 5 & -15 & 10 & -5 -1 & 3 & -2 & 1 7 & -21 & 14 & -7

Passo 5

Para C⁻¹ aplicamos Gauss–Jordan em [C|I₄] e obtemos
C^-1=14 1 & -1 & 1 & 0 -2 & 2 & -1 & 1 3 & -2 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 & 1

Resposta

As três matrizes são invertíveis. Suas inversas são:
A^-1= -tfrac125 & tfrac825 & -tfrac725 & tfrac15 tfrac2675 & tfrac825 & tfrac15 & 0 tfrac1375 & tfrac725 & -tfrac325 & -tfrac15 -tfrac13 & 0 & 0 & 0 , B^-1=139 -2 & 6 & -4 & 2 5 & -15 & 10 & -5 -1 & 3 & -2 & 1 7 & -21 & 14 & -7 , C^-1=14 1 & -1 & 1 & 0 -2 & 2 & -1 & 1 3 & -2 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 & 1

Exercícios relacionados