Considere as matrizes:
A=(cccc 0 & 0 & 0 & -3 1 & 2 & 3 & 4 -1 & 3 & 2 & 5 2 & 1 & -2 & 0 ) B=(cccc 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1 ) C=(llll 2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 3 )
Calcule os determinantes: Por uma das colunas.

Passo 1

Na questão, temos três matrizes 4×4, A, B e C, e o objetivo é calcular det(A), det(B) e det(C). O tema é determinantes de matrizes quadradas; vamos usar expansão de Laplace (cofatores) e também eliminação por operações elementares de linha para agilizar.

Passo 2

Para calcular det(A), escolhemos expandir pela primeira coluna porque só há um zero nela. Usamos a fórmula de Laplace:
det(A)=sumi=1^4(-1)^i+1,ai1,det(Mi1),
onde Mi1 é o menor que resulta de eliminar a linha i e a coluna 1.

Passo 3

Precisamos então dos três menores 3times3 correspondentes a i=2,3,4. Por exemplo, para i=2 obtivemos det(M21)=24, para i=3 veio det(M31)=21 (com o sinal do cofactor tornando-o –21) e para i=4 deu det(M41)=15 (com cofactor levando a –30).

Passo 4

Somando as contribuições:
det(A)=0-24-21-30=-75

Passo 5

Para det(B), usamos operações de linha que não alteram o valor do determinante:
R2>=ts R2-5R1, R3>=ts R3+R1, R4>=ts R4-2R1, depois R4>=ts R4-12R2 e R4>=ts R4+36R3.
Isso nos leva a uma matriz triangular.

Passo 6

Como o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal, e após as operações a diagonal ficou 1,1,-3,-13, segue-se
det(B)=1cdot1cdot(-3)cdot(-13)=39

Passo 7

Para det(C), expandimos pela primeira coluna (há dois zeros). Aplicamos
det(C)=sumi=1^4(-1)^i+1ci1det(Ni1),
precisando apenas dos menores para i=1 e i=2.

Passo 8

Calculamos esses dois menores 3times3 por expansão (cada um deu –5 e –14, levando a –10 e +14) e somamos:
det(C)=-10+14=4

Resposta

det(A)=-75,;det(B)=39,;det(C)=4

Exercícios relacionados