Na questão, temos três matrizes 4×4, A, B e C, e o objetivo é calcular det(A), det(B) e det(C). O tema é determinantes de matrizes quadradas; vamos usar expansão de Laplace (cofatores) e também eliminação por operações elementares de linha para agilizar.
Passo 2
Para calcular det(A), escolhemos expandir pela primeira coluna porque só há um zero nela. Usamos a fórmula de Laplace:
det(A)=sumi=1^4(-1)^i+1,ai1,det(Mi1),
onde Mi1 é o menor que resulta de eliminar a linha i e a coluna 1.
Passo 3
Precisamos então dos três menores 3times3 correspondentes a i=2,3,4. Por exemplo, para i=2 obtivemos det(M21)=24, para i=3 veio det(M31)=21 (com o sinal do cofactor tornando-o –21) e para i=4 deu det(M41)=15 (com cofactor levando a –30).
Passo 4
Somando as contribuições:
det(A)=0-24-21-30=-75
Passo 5
Para det(B), usamos operações de linha que não alteram o valor do determinante: R2>=ts R2-5R1, R3>=ts R3+R1, R4>=ts R4-2R1, depois R4>=ts R4-12R2 e R4>=ts R4+36R3.
Isso nos leva a uma matriz triangular.
Passo 6
Como o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal, e após as operações a diagonal ficou 1,1,-3,-13, segue-se
det(B)=1cdot1cdot(-3)cdot(-13)=39
Passo 7
Para det(C), expandimos pela primeira coluna (há dois zeros). Aplicamos
det(C)=sumi=1^4(-1)^i+1ci1det(Ni1),
precisando apenas dos menores para i=1 e i=2.
Passo 8
Calculamos esses dois menores 3times3 por expansão (cada um deu –5 e –14, levando a –10 e +14) e somamos: