Dada a curva r=2+2 sin (theta) no intervalo 0 <= theta <= 2 pi. (faça o gráfico no verso)
Esboce o gráfico de r como função de theta em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no sistema de coordenadas polares a curva definida por r=2+2sintheta para 0<=theta<=2pi. O conteúdo aqui é curvas polares: precisamos avaliar r em ângulos notáveis, identificar extremos e simetrias.

Passo 2

Observamos que sintheta varia de -1 a +1. Logo a função r(theta)=2+2sintheta varia entre 2+2(-1)=0 e 2+2(1)=4.

Passo 3

Calculamos pontos-chave:
theta=0: ;r=2+2sin0=2
theta=pi2: r=2+2cdot1=4
theta=pi: r=2+2cdot0=2
theta=tfrac3pi2: r=2+2(-1)=0
theta=2pi: r=2+2sin2pi=2

Passo 4

Note que em theta=tfrac3pi2 a curva atinge a origem ( r=0), e em theta=tfracpi2 atinge o máximo r=4.
A função sintheta gera simetria em relação ao eixo vertical (reta theta=tfracpi2).

Passo 5

Com esses pontos e a simetria, ligamos suavemente: obtemos uma cardioide (limaçon especial) com cuspide na origem em theta=tfrac3pi2, ponto mais externo em theta=tfracpi2 e intersecções em r=2 para theta=0 e pi.

Resposta

Uma cardioide simétrica em relação ao eixo vertical, com ponto mais distante em r=4 para theta=tfracpi2, cuspide na origem em theta=tfrac3pi2 e intersecções em r=2 nos ângulos 0 e pi.

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