Considere as matrizes A e B dadas abaixo:
A=(cccc 1 & 1 & -1 & 1 2 & 3 & a & 3 1 & a & 3 & a 0 & 1 & 0 & 0 ) B=(l 1 3 2 0 )
(a) Calcule o determinante da matriz A em função do parâmetro a.
(b) Determine todos os valores de a para os quais det(A) é diferente de zero.
(c) Escolha um valor de a conveniente e calcule A^-1 neste caso.
(d) Para o valor de a que você escolheu no item (c), resolva o sistema A cdot X=B neste caso.
(e) Considere o sistema linear A cdot X=B. Para todos os valores de a para o(s) qual(quais) o determinante de A seja igual a zero determine:
i) O(s) caso(s) em que existem infinitas soluções para o sistema linear correspondente. Apresente o(s) conjunto(s) solução(ões).
ii) O(s) caso(s) em que não existe solução para o sistema linear correspondente.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A= 1 & 1 & -1 & 1 2 & 3 & a & 3 1 & a & 3 & a 0 & 1 & 0 & 0 , B=1320,
e pede: (a) det(A) em função de a; (b) valores de a que tornam det(A)neq0; (c) escolher um a conveniente e calcular A^-1; (d) para esse a, resolver A X=B; (e) para os a que anulem det(A) estudar existência e quantas soluções.

Passo 2

Para calcular det(A) usamos expansão por Laplace na última linha, que só tem entrada não nula em l(4,2r). Isso dá
det(A) =l(-1r)^4+2cdot1cdot det 1 & -1 & 1 2 & a & 3 1 & 3 & a =det 1 & -1 & 1 2 & a & 3 1 & 3 & a
Calculando essa 3times3 obtemos
det(A)=a^2+a-6

Passo 3

Fatorando,
det(A)=a^2+a-6=(a+3)(a-2)
Logo det(A)neq0 exatamente quando
aneq2 e aneq-3

Passo 4

Escolhemos a=0 (é conveniente e det(A)= -6neq0). Para a=0
A= 1 & 1 & -1 & 1 2 & 3 & 0 & 3 1 & 0 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0
Aplicando o método de Gauss–Jordan completo (detalhes omitidos) chega-se a
A^-1= 32 & -12 & 12 & 0 0 & 0 & 0 & 1 -12 & 16 & 16 & 0 -1 & 23 & -13 & -1

Passo 5

Para a=0, a solução de A,X=B é
X=A^-1B = 32 & -12 & 12 & 0 0 & 0 & 0 & 1 -12 & 16 & 16 & 0 -1 & 23 & -13 & -1 1320 =10tfrac13tfrac13

Passo 6

Para a=2 temos det(A)=0. O sistema reduzido dá x2=0 e, das outras equações, a condição única
4x3 + x4 =1,
de onde ficamos com uma família de soluções de parâmetro t=x3:
x2=0, x4=1-4t, x1=1+t-(1-4t)=5t,
ou seja
,X=(x1,x2,x3,x4)=(5t,0,t,1-4t)mid tinR

Passo 7

Para a=-3 temos det(A)=0 e, após a redução, chega-se a uma contradição (por exemplo -1=1/4), logo o sistema não tem nenhuma solução.

Resposta

(a) det(A)=a^2+a-6.
(b) det(A)neq0 para aneq2 e aneq-3.
(c) Escolhendo a=0,
A^-1= 32 & -tfrac12 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 0 & 1 -tfrac12 & tfrac16 & tfrac16 & 0 -1 & tfrac23 & -tfrac13 & -1
(d) Nesse caso,
X=A^-1B=10tfrac13tfrac13
(e)(i) Para a=2, infinitas soluções dadas por
(5t,0,t,1-4t)mid tinR.
(e)(ii) Para a=-3, não existe solução.

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