Resolva os sistemas lineares abaixo:
S1:rll x+3 y+13 z & =9 y+5 z & =2 -2 y-10 z & =-8 S2:rr x+y+z & =1 2 x+y+4 z & =2 2 x+3 y+5 z & =5 / 2 S3:rr 5 x+15 y-10 z+40 w & =-45 +3 y-z+5 w & =-7 x-3 z-9 w & =6 S4:rr 2 x-y+z & -w -x+y-z & -w )=0

Passo 1

O enunciado pede a resolução de quatro sistemas lineares S1,S2,S3,S4. Vamos aplicar eliminação de Gauss, identificar se cada sistema é determinado, indeterminado ou incompatível e, em caso de indeterminação, parametrizar as soluções.

Passo 2

Analisando
S1: x+3y+13z=9, y+5z=2, -2y-10z=-8,
note que a segunda equação dá
y+5z=2Longrightarrow -2y-10z=-4
Mas a terceira exige -2y-10z=-8, o que gera contradição. Portanto S1 é incompatível (não tem solução).

Passo 3

Para
S2: x+y+z=1, 2x+y+4z=2, 2x+3y+5z=tfrac52,
usamos a primeira para x=1-y-z e substituímos nas duas restantes:
2(1-y-z)+y+4z=2;Longrightarrow;-y+2z=0;Longrightarrow;y=2z,
2(1-y-z)+3y+5z=tfrac52;Longrightarrow;2-2y-2z+3y+5z=tfrac52;Longrightarrow;y+3z=tfrac12
Substituindo y=2z em y+3z=tfrac12
5z=tfrac12;Longrightarrow;z=tfrac110, y=2cdottfrac110=tfrac15,
e então
x=1-tfrac15-tfrac110=tfrac710
Logo S2 tem solução única
(x,y,z)=l(tfrac710,,tfrac15,,tfrac110r)

Passo 4

Em
S3: 5x+15y-10z+40w=-45, 3y-z+5w=-7, x-3z-9w=6,
temos 4 incógnitas e 3 equações, logo há infinitas soluções. Seja lambdainR um parâmetro que definirá w=lambda. Da segunda equação:
3y-z+5lambda=-7;Longrightarrow;y=z-5lambda-73
Da terceira:
x-3z-9lambda=6;Longrightarrow;x=6+3z+9lambda
Substituindo x e y na primeira e simplificando obtém-se a relação
z+6lambda=-4;Longrightarrow;z=-4-6lambda
Então
y=(-4-6lambda)-5lambda-73=-11(1+lambda)3, x=6+3(-4-6lambda)+9lambda=-6-9lambda
Portanto a família de soluções é
(x,y,z,w)=l(-6-9lambda,,-tfrac11(1+lambda)3,,-4-6lambda,lambdar), lambdainR

Passo 5

No sistema
S4: 2x-y+z-w=0, -,x+y-z-w=0,
são 2 equações e 4 incógnitas, logo 2 graus de liberdade. Somando ambas:
(2x-y+z-w)+(-x+y-z-w)=x-2w=0;Longrightarrow;x=2w
Da segunda (por exemplo):
-2w +y -z -w=0;Longrightarrow;y=z+3w
Seja então z=s e w=t. A solução geral é
(x,y,z,w)=(2t,;s+3t,;s,;t), s,tinR

Resposta

S1: sem solução.
S2: (x,y,z)=(tfrac710,tfrac15,tfrac110).
S3: l(x,y,z,wr)=l(-6-9lambda,,-tfrac11(1+lambda)3,,-4-6lambda,lambdar), lambdainR.
S4: (x,y,z,w)=(2t,;s+3t,;s,;t), s,tinR.

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