Sejam A e B matrizes n times n. Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
A^2-B^2=(A-B)(A+B).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer matrizes quadradas A e B de ordem n, vale a identidade
A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)
O conteúdo aqui é álgebra de matrizes e, em particular, a não comutatividade do produto matricial.

Passo 2

Vamos expandir o produto do lado direito usando a distributividade do produto de matrizes:
(A - B)(A + B) = Acdot A + Acdot B - Bcdot A - Bcdot B = A^2 + A,B - B,A - B^2

Passo 3

O lado esquerdo é
A^2 - B^2,
enquanto o lado direito, após expansão, é
A^2 + A,B - B,A - B^2
Para que essas duas expressões sejam iguais, é preciso que
A,B - B,A = 0,
isto é, que A,B = B,A.

Passo 4

Como em geral matrizes não comutam ( A,Bneq B,A), a identidade falha sem essa hipótese. Portanto, o enunciado é falso em geral: só se torna verdadeiro quando A e B comutam.

Resposta

FALSO. A igualdade só vale se e somente se A,B = B,A.

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