Sejam
e
matrizes
. Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
.
Passo 1
O enunciado pergunta se, para quaisquer matrizes quadradas
e
de ordem
, vale a identidade
O conteúdo aqui é álgebra de matrizes e, em particular, a não comutatividade do produto matricial.
Passo 2
Vamos expandir o produto do lado direito usando a distributividade do produto de matrizes:
Passo 3
O lado esquerdo é
enquanto o lado direito, após expansão, é
Para que essas duas expressões sejam iguais, é preciso que
isto é, que
.
Passo 4
Como em geral matrizes não comutam (
), a identidade falha sem essa hipótese. Portanto, o enunciado é falso em geral: só se torna verdadeiro quando
e
comutam.
Resposta
FALSO. A igualdade só vale se e somente se
.