Considere as matrizes
M_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad M_{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad M_{3}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)
no espaço vetorial M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) das matrizes reais 2 \times 2. Prove que o conjunto \left\{M_{1}, M_{2}, M_{3}\right\} gera o subespaço de todas as matrizes simétricas 2 \times 2, ou seja, demonstre que
\operatorname{span}\left\{M_{1}, M_{2}, M_{3}\right\}
é exatamente o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem 2.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
M_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad M_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad M_{3}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}
no espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}) e pede para mostrar que
\mathrm{span}\{M_{1},M_{2},M_{3}\}
é exatamente o subespaço de todas as matrizes simétricas 2\times2. Vamos usar a definição de combinação linear (span) e a caracterização de matrizes simétricas.]

Passo 2

Mostramos primeiro que qualquer combinação linear
X = x\,M_{1}+y\,M_{2}+z\,M_{3},\quad x,y,z\in\mathbb{R},
é uma matriz simétrica. De fato,
X = x\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&z\z&y\end{pmatrix}.
Como \bigl(\begin{smallmatrix}x&z\z&y\end{smallmatrix}\bigr)^{T}=\begin{pmatrix}x&z\z&y\end{pmatrix}, X é simétrica. Logo
\mathrm{span}\{M_{1},M_{2},M_{3}\}\subseteq\{\text{matrizes simétricas}\}.é

Passo 3

Agora mostramos que toda matriz simétrica 2\times2 pertence à esse span. Seja
S=\begin{pmatrix}a&b\\[3pt]b&c\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Basta escrever
S = a\,M_{1} + c\,M_{2} + b\,M_{3},
pois, verificando,
a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}=S.
Isso mostra
\{\text{matrizes simétricas}\}\subseteq\mathrm{span}\{M_{1},M_{2},M_{3}\}.é]

Passo 4

Como já provamos as duas inclusões, concluímos que
\mathrm{span}\{M_{1},M_{2},M_{3}\} \;=\; \{\text{todas as matrizes simétricas }2\times2\}.é

Resposta

\mathrm{span}\{M_{1},M_{2},M_{3}\} = \{\,S\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid S^{T}=S\}.

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