(a) (2 pts) Para quais valores de x a matriz \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & x \\\\ 1 & 1 & x^{2} \\\\ 2 & 2 & x^{2}\end{array}\right] tem inversa?
(b) ( 5 pts ) Para esses valores de x, calcule a inversa da matriz…

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & x\\\\ 1 & 1 & x^{2}\\\\ 2 & 2 & x^{2} \end{pmatrix}
e pede (a) para quais x ela é invertível (ou seja, \det A\neq0) e (b) calcular A^{-1} nesses casos. Vamos usar (i) o cálculo do determinante e (ii) o método da adjunta (cofatores) para obter a inversa.

Passo 2

Calculemos o determinante expandindo pela primeira linha:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\\ 2 & x^{2}\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) + x\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix}.
Aqui
\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\\ 2 & x^{2}\end{pmatrix} =1\cdot x^{2}-2\cdot x^{2}=-x^{2}, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2-2\cdot1=0.
Logo
\det A =1\cdot(-x^{2})+x\cdot0=-x^{2}.

Passo 3

A matriz é invertível se, e somente se,
\det A\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x^{2}\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq0.

Passo 4

Para x\neq0 calculamos a inversa por cofatores. Primeiro achamos a matriz dos cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det\bigl(A\text{ sem linha }i\text{ e coluna }j\bigr).
Os cálculos dão
C=\begin{pmatrix} -x^{2} & x^{2} & 0\\\\ 2x & x^{2}-2x & -2\\\\ -x & -x^{2}+x & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A) =C^{T} =\begin{pmatrix} -\,x^{2} & 2x & -\,x\\\ x^{2} & x^{2}-2x & -\,x^{2}+x\\\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como \det A=-x^{2}, temos
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A) =\frac{1}{-x^{2}} \begin{pmatrix} -\,x^{2} & 2x & -\,x\\\ x^{2} & x^{2}-2x & -\,x^{2}+x\\\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Dividindo e simplificando cada entrada:
A^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -\frac{2}{x} & \frac{1}{x}\\\\ -1 & -1+\frac{2}{x} & 1-\frac{1}{x}\\\\ 0 & \frac{2}{x^{2}} & -\frac{1}{x^{2}} \end{pmatrix}.

Resposta

(a) A matriz é invertível se, e somente se, x\neq0.
(b) Para x\neq0,
A^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{x} & \dfrac{1}{x}\\[6pt] -1 & -1+\dfrac{2}{x} & 1-\dfrac{1}{x}\\[6pt] 0 & \dfrac{2}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}} \end{pmatrix}.]

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