Considere o sistema linear \left\{\begin{array}{c}a x+6 y=6 b \\\\ -x+3 y=4\end{array}\right.
(a) (3 pts) Para quais valores de a e b o sistema tem apenas uma solução? Encontre essa solução.
(b) (2 pts) Para quais valores de a e b o sistema não tem qualquer solução?
(c) (2 pts) Para quais valores de a e b o sistema tem infinitas soluções? Encontre essas soluções.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} a x + 6 y = 6b,\\\\ -x + 3 y = 4, \end{cases}
e pede (a) a condição para existência de única solução e encontrá-la, (b) quando não há solução, (c) quando há infinitas soluções e descrevê-las. Vamos usar teoria de determinantes (Cramer) e análise de compatibilidade de sistemas.

Passo 2

Para a \neq -2 o determinante do sistema é
\Delta = a\cdot 3 - 6\cdot(-1) = 3(a+2)\neq 0,
logo há solução única. Da segunda equação vem x = 3y - 4. Substituindo na primeira:
a(3y-4)+6y = 6b \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{6b + 4a}{3(a+2)}.
Então
x = 3y - 4 = \frac{6b - 8}{a+2}.

Passo 3

Se a = -2, então \Delta=0 e as equações ficam
-2x+6y = 6b, \quad - x+3y = 4.
Multiplicando a segunda por 2 obtém-se -2x+6y = 8. Para não haver nenhuma solução, os termos constantes devem diferir, isto é
6b \neq 8 \quad\Longleftrightarrow\quad b \neq \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Ainda em a=-2, se b = \tfrac{4}{3} então ambas as equações se reduzem a
- x + 3y = 4,
que tem infinitas soluções. Fazendo y=t como parâmetro livre, vem
x = 3t - 4,\quad y = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Para a \neq -2 há solução única
x = \frac{6b - 8}{a+2}, \quad y = \frac{6b + 4a}{3(a+2)}.
(b) Para a = -2 e b \neq \tfrac{4}{3} o sistema é incompatível (sem solução).
(c) Para a = -2 e b = \tfrac{4}{3} há infinitas soluções
x = 3t - 4,\quad y = t,\quad t\in\mathbb{R}.

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