Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 4 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\\\ -2 & 1 \\\\ 3 & 5 \end{array}\right) .
Verificar que (A B)^{t}=B^{t} A^{t}.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]3 & 0 & 4\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-2 & 1\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix},
e pede para verificar a igualdade
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A tem dimensão 2\times 3.
  • B tem dimensão 3\times 2.
  • A multiplicação AB está bem definida (produto de 2\times3 por 3\times2 dá uma matriz 2\times2).
  • O objetivo é calcular ambos os lados da igualdade e mostrar que coincidem.]

Passo 2

Definições e fórmulas que usaremos (explicadas passo a passo).
  1. Multiplicação de matrizes: se X é m\times n e Y é n\times p, então XY é m\times p e cada entrada é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Isto significa: para obter a entrada na linha i e coluna j do produto, multiplica-se a linha i de X pelos elementos correspondentes da coluna j de Y e soma-se os produtos.
  1. Transposta: se M é uma matriz com entradas M_{ij}, a transposta M^{t} tem entradas (M^{t})_{ij}=M_{ji}. Na prática, trocar linhas por colunas.
Essas fórmulas bastam para calcular explicitamente (AB)^{t} e B^{t}A^{t}.

Passo 3

Calcular AB usando a regra da multiplicação. Primeiro identifico as linhas de A e colunas de B:
Linhas de A:
  • linha 1 de A: (2,\,1,\,-1),
  • linha 2 de A: (3,\,0,\,4).
Colunas de B:
  • coluna 1 de B: \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]3\end{pmatrix},
  • coluna 2 de B: \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Agora calculo as entradas de AB (matriz 2\times2) usando (AB)_{ij}= linha i de A \cdot coluna j de B.
Cálculos detalhados:
(AB)_{11} = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(3) = 2 - 2 - 3 = -3.
(AB)_{12} = (2)(0) + (1)(1) + (-1)(5) = 0 + 1 - 5 = -4.
(AB)_{21} = (3)(1) + (0)(-2) + (4)(3) = 3 + 0 + 12 = 15.
(AB)_{22} = (3)(0) + (0)(1) + (4)(5) = 0 + 0 + 20 = 20.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}-3 & -4\\[4pt]15 & 20\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular (AB)^{t} aplicando a definição de transposta: trocar linhas por colunas na matriz AB.
A matriz AB tem primeira coluna \begin{pmatrix}-3\\[4pt]15\end{pmatrix} e segunda coluna \begin{pmatrix}-4\\[4pt]20\end{pmatrix}. Assim
(AB)^{t}=\begin{pmatrix}-3 & 15\\[4pt]-4 & 20\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular B^{t} e A^{t} separadamente.
Transpondo B (original 3\times2) obtemos B^{t} de dimensão 2\times3:
B^{t}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\\[4pt]0 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Transpondo A (original 2\times3) obtemos A^{t} de dimensão 3\times2:
A^{t}=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 0\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular o produto B^{t}A^{t}. As dimensões confirmam: B^{t} é 2\times3 e A^{t} é 3\times2, então o produto existe e é 2\times2. Usando a regra da multiplicação:
Entradas de B^{t}A^{t}:
(B^{t}A^{t})_{11} = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3.
(B^{t}A^{t})_{12} = (1)(3) + (-2)(0) + (3)(4) = 3 + 0 + 12 = 15.
(B^{t}A^{t})_{21} = (0)(2) + (1)(1) + (5)(-1) = 0 + 1 - 5 = -4.
(B^{t}A^{t})_{22} = (0)(3) + (1)(0) + (5)(4) = 0 + 0 + 20 = 20.
Logo
B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix}-3 & 15\\[4pt]-4 & 20\end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparando os resultados do

Passo 8

(AB)^{t}=\begin{pmatrix}-3 & 15\\[4pt]-4 & 20\end{pmatrix}=B^{t}A^{t}.
Assim a igualdade pedida está verificada.
Observação rápida (intuição): este cálculo direto é a verificação numérica; existe também uma demonstração geral por índices que mostra que, para quaisquer matrizes compatíveis, vale (XY)^{t}=Y^{t}X^{t}.]

Resposta

(AB)^{t}=B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix}-3 & 15\\[4pt]-4 & 20\end{pmatrix}]

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