A multiplicação AB está bem definida (produto de 2\times3 por 3\times2 dá uma matriz 2\times2).
O objetivo é calcular ambos os lados da igualdade e mostrar que coincidem.]
Passo 2
Definições e fórmulas que usaremos (explicadas passo a passo).
Multiplicação de matrizes: se X é m\times n e Y é n\times p, então XY é m\times p e cada entrada é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Isto significa: para obter a entrada na linha i e coluna j do produto, multiplica-se a linha i de X pelos elementos correspondentes da coluna j de Y e soma-se os produtos.
Transposta: se M é uma matriz com entradas M_{ij}, a transposta M^{t} tem entradas (M^{t})_{ij}=M_{ji}. Na prática, trocar linhas por colunas.
Essas fórmulas bastam para calcular explicitamente (AB)^{t} e B^{t}A^{t}.
Passo 3
Calcular AB usando a regra da multiplicação. Primeiro identifico as linhas de A e colunas de B:
Linhas de A:
linha 1 de A: (2,\,1,\,-1),
linha 2 de A: (3,\,0,\,4).
Colunas de B:
coluna 1 de B: \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]3\end{pmatrix},
coluna 2 de B: \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Agora calculo as entradas de AB (matriz 2\times2) usando (AB)_{ij}= linha i de A\cdot coluna j de B.
Calcular o produto B^{t}A^{t}. As dimensões confirmam: B^{t} é 2\times3 e A^{t} é 3\times2, então o produto existe e é 2\times2. Usando a regra da multiplicação:
Observação rápida (intuição): este cálculo direto é a verificação numérica; existe também uma demonstração geral por índices que mostra que, para quaisquer matrizes compatíveis, vale (XY)^{t}=Y^{t}X^{t}.]