a) Determine os valores de k para que a matriz A possua inversa.
b) Faça k=1 e calcule a inversa da matriz dos coeficientes.
c) Resolva o sistema linear resultante com k=1, usando a matriz inversa obtida em b).
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear A x=b com
A=\begin{pmatrix} k & 0 & 2\\[4pt] 0 & k & 1\\[4pt] 0 & 9 & k \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-17\end{pmatrix}.
O que pede:
(a) Determinar os valores de k para os quais a matriz A possui inversa (isto é, quando A é invertível).
(b) Tomar k=1 e calcular A^{-1}.
(c) Com k=1, resolver o sistema usando a inversa encontrada em (b).
Informações importantes fornecidas: a forma explícita da matriz A em função de k e o vetor b. A resolução começa a seguir.]
Passo 2
Condição de invertibilidade e cálculo do determinante.
Teoria rápida e essencial (explicando como usar na prova):
Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0.
Para calcular \det(A) pode-se usar expansão por cofatores ou aproveitar zeros na matriz para simplificar.
Calculemos \det(A). Observando a primeira coluna de A (que tem duas entradas zero), temos:
Conclusão: A é invertível exatamente quando \det(A)\neq0, ou seja, quando
k\neq 0,\quad k\neq 3,\quad k\neq -3.]
Passo 3
Preparação para calcular a inversa com k=1.
Escolha do método (seguindo o algoritmo pedido): não foi imposto método, então usamos um método prático e básico: eliminação de Gauss–Jordan (transformar [A\mid I] em [I\mid A^{-1}]). Esse método é ensinável e aplicável à mão em prova. Vou mostrar passo a passo cada operação elementar, explicando o objetivo de cada uma: zerar abaixo/ acima dos pivôs e normalizar pivôs.
Substituindo k=1 obtemos a matriz dos coeficientes
Pequena observação de verificação (útil na prova): multiplicar A_{1} por A^{-1} deve devolver I. Fazer checagens rápidas de uma ou duas entradas é uma boa prática para evitar erro de sinal.]
Passo 6
Resolver o sistema com k=1 usando x=A^{-1}b.
Multiplicamos A^{-1} por b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-17\end{pmatrix}. Calcule componente a componente, explicando cada termo: