Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{rr} 1 & 3 \\\\ -2 & 2 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{ll} 4 & x \\\ y & 3 \end{array}\right) .
Determinar x e y para que as matrizes A e B comutem.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 2\times2:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -2 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4 & x \\\ y & 3\end{pmatrix}.
O que se pede: determinar os escalares x e y para que A e B comutem, ou seja, para que
AB=BA.
Listei acima todas as informações dadas e a pergunta feita.

Passo 2

Entender o que significa “comutam”. Duas matrizes 2\times2 comutam quando o produto na ordem AB é igual ao produto na ordem BA. Para fixar ideia, se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
o produto AB é a matriz cujos elementos são obtidos somando produtos linha por coluna:
AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.
Aqui cada entrada tem um significado: por exemplo, a entrada (1,1) de AB combina a primeira linha de A com a primeira coluna de B. Vamos aplicar essa regra ao nosso caso concreto.

Passo 3

Calcular AB usando a fórmula de multiplicação acima. Substituindo os valores de A e B:
AB=\begin{pmatrix} 1\cdot4 + 3\cdot y & 1\cdot x + 3\cdot3 \\\ (-2)\cdot4 + 2\cdot y & (-2)\cdot x + 2\cdot3 \end{pmatrix}.
Agora fazemos as contas linha a linha:
AB=\begin{pmatrix} 4 + 3y & x + 9 \\\\ -8 + 2y & -2x + 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular BA da mesma forma, trocando a ordem:
BA=\begin{pmatrix} 4\cdot1 + x\cdot(-2) & 4\cdot3 + x\cdot2 \\\ y\cdot1 + 3\cdot(-2) & y\cdot3 + 3\cdot2 \end{pmatrix}.
Fazendo as multiplicações e somas:
BA=\begin{pmatrix} 4 - 2x & 12 + 2x \\\ y - 6 & 3y + 6 \end{pmatrix}.

Passo 5

Impor a condição de comutação AB=BA\): igualar as entradas correspondentes das duas matrizes. Isso gera um sistema de equações: \[\begin{cases} 4 + 3y = 4 - 2x &\text{(entrada (1,1))}\\[4pt] x + 9 = 12 + 2x &\text{(entrada (1,2))}\\[4pt] -8 + 2y = y - 6 &\text{(entrada (2,1))}\\[4pt] -2x + 6 = 3y + 6 &\text{(entrada (2,2))} \end{cases}
Agora resolvemos cada uma, passo a passo.
Da segunda equação:
x + 9 = 12 + 2x \quad\Rightarrow\quad 9-12 = 2x - x \quad\Rightarrow\quad -3 = x.
Então já temos (x = -3].
Da terceira equação:
-8 + 2y = y - 6 \quad\Rightarrow\quad 2y - y = -6 + 8 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Então y = 2.
Verificar as outras duas equações para consistência. A primeira equação com x=-3 e y=2:
4 + 3y = 4 + 3\cdot2 = 4 + 6 = 10,
4 - 2x = 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10,
portanto está satisfeita.
A quarta equação:
-2x + 6 = -2(-3) + 6 = 6 + 6 = 12,
3y + 6 = 3\cdot2 + 6 = 6 + 6 = 12,
também satisfeita. Assim o sistema é consistente e as soluções encontradas valem para todas as entradas.]

Passo 6

Conclusão operacional e verificação final: com x=-3 e y=2 os produtos AB e BA coincidem (ambos valem, se quiser conferir, à matriz \begin{pmatrix}10 & 6 \\\\ -4 & 12\end{pmatrix}). Portanto esses valores garantem que A e B comutem.

Resposta

x=-3
y=2

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