Aqui cada entrada tem um significado: por exemplo, a entrada (1,1) de AB combina a primeira linha de A com a primeira coluna de B. Vamos aplicar essa regra ao nosso caso concreto.
Passo 3
Calcular AB usando a fórmula de multiplicação acima. Substituindo os valores de A e B:
AB=\begin{pmatrix} 1\cdot4 + 3\cdot y & 1\cdot x + 3\cdot3 \\\ (-2)\cdot4 + 2\cdot y & (-2)\cdot x + 2\cdot3 \end{pmatrix}.
Impor a condição de comutação AB=BA\): igualar as entradas correspondentes das duas matrizes. Isso gera um sistema de equações:
\[\begin{cases} 4 + 3y = 4 - 2x &\text{(entrada (1,1))}\\[4pt] x + 9 = 12 + 2x &\text{(entrada (1,2))}\\[4pt] -8 + 2y = y - 6 &\text{(entrada (2,1))}\\[4pt] -2x + 6 = 3y + 6 &\text{(entrada (2,2))} \end{cases}
Agora resolvemos cada uma, passo a passo.
Da segunda equação:
x + 9 = 12 + 2x \quad\Rightarrow\quad 9-12 = 2x - x \quad\Rightarrow\quad -3 = x.
Então já temos (x = -3].
Da terceira equação:
-8 + 2y = y - 6 \quad\Rightarrow\quad 2y - y = -6 + 8 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Então y = 2.
Verificar as outras duas equações para consistência. A primeira equação com x=-3 e y=2:
4 + 3y = 4 + 3\cdot2 = 4 + 6 = 10,
4 - 2x = 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10,
portanto está satisfeita.
A quarta equação:
-2x + 6 = -2(-3) + 6 = 6 + 6 = 12,
3y + 6 = 3\cdot2 + 6 = 6 + 6 = 12,
também satisfeita. Assim o sistema é consistente e as soluções encontradas valem para todas as entradas.]
Passo 6
Conclusão operacional e verificação final: com x=-3 e y=2 os produtos AB e BA coincidem (ambos valem, se quiser conferir, à matriz \begin{pmatrix}10 & 6 \\\\ -4 & 12\end{pmatrix}). Portanto esses valores garantem que A e B comutem.