Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 0\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\\\ -2 & 2\end{array}\right)
Sobre essas matrizes, assinale o que for correto.
Passo 1
O enunciado fornece duas matrizes e pede que se “assinale o que for correto”, mas o conjunto de alternativas NÃO foi enviado. Vou primeiro listar o que o enunciado deu (peguei estes números do enunciado que ficou disponível aqui) e depois calcular várias propriedades que costumam aparecer nas alternativas de exercícios desse tipo — assim você terá material para comparar com as alternativas do seu professor quando as tiver.
Matrizes dadas:
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix}
O enunciado pede para assinalar afirmações corretas, porém essas afirmações não foram fornecidas. Portanto não é possível indicar quais alternativas específicas são corretas sem vê‑las. Ainda assim, vou calcular e explicar passo a passo propriedades importantes de A e B (determinante, invertibilidade, inversa, produto, comutatividade, traço, autovalores, posto) para que você consiga responder qualquer alternativa típica da prova.]
Passo 2
Determinante de uma matriz 2\times2: para \displaystyle M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} vale
\det(M)=ad-bc.
O determinante indica, entre outras coisas, se a matriz é invertível: \det(M)\neq0 implica que M é invertível e tem posto 2.
Calculemos \det(A) e \det(B).
Para A: a=2,\; b=-1,\; c=3,\; d=0. Então
\det(A)=2\cdot0-(-1)\cdot3=0+3=3.
Para B: a=1,\; b=4,\; c=-2,\; d=2. Então
\det(B)=1\cdot2-4\cdot(-2)=2+8=10.
Interpretação: \det(A)=3\neq0 e \det(B)=10\neq0, portanto ambas as matrizes são invertíveis e têm posto 2 (pleno).]
Passo 3
Inversa de uma matriz 2\times2: para M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com \det(M)\neq0,
Explicação rápida do procedimento: troca‑se a e d, muda‑se o sinal de b e c, e divide-se por \det. Essa é a forma fechada prática para 2\times2.]
Passo 4
Traço e propriedade relacionada: o traço de uma matriz M é \operatorname{tr}(M)=a+d (soma dos elementos da diagonal). Uma propriedade útil é \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA) para matrizes quadradas compatíveis.
Calculemos:
\operatorname{tr}(A)=2+0=2.
\operatorname{tr}(B)=1+2=3.
Guardaremos isso para comparar com produtos.
Passo 5
Produto entre matrizes e checagem de comutatividade. Em geral AB\neq BA. Vou calcular AB e BA passo a passo.
Regra do produto: se X é 2\times2 com linhas x_{i} e Y é 2\times2 com colunas y^{(j)}, então o elemento (i,j) de XY é o produto escalar da linha i de X pela coluna j de Y.
Calcule AB com A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}.
Elemento (1,1) de AB: 2\cdot1 + (-1)\cdot(-2)=2+2=4.
ou seja, as raízes da equação quadrática com coeficientes traço e determinante.
Calculemos para A e B.
Para A: \operatorname{tr}(A)=2 e \det(A)=3. O polinômio é
\lambda^2 -2\lambda +3=0.
Discriminante \Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot3 =4-12=-8<0. Portanto os autovalores são complexos conjugados:
\lambda = \frac{2\pm\sqrt{-8}}{2}=1\pm i\sqrt{2}.
Para B: \operatorname{tr}(B)=3 e \det(B)=10. O polinômio é
\lambda^2 -3\lambda +10=0.
Discriminante \Delta =9-40=-31<0. Logo também autovalores complexos conjugados:
\lambda = \frac{3\pm i\sqrt{31}}{2}.
Interpretação: nenhuma das matrizes tem autovalores reais; ambas são invertíveis (já visto pelos determinantes) mas diagonalizáveis sobre \mathbb{C} possivelmente (avaliar multiplicidade geométrica caso necessário).
Passo 7
Posto (rank). Para matrizes 2\times2 com determinante não nulo, o posto é 2 (posto completo). Já concluímos \det(A)=3\neq0 e \det(B)=10\neq0, então
Autovalores de A: \lambda=1\pm i\sqrt{2} (complexos).
Autovalores de B: \lambda=\dfrac{3\pm i\sqrt{31}}{2} (complexos).
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=2.
Guarde essa lista: quando você receber as alternativas do seu professor, compare‑as com esses itens — você já terá todas as respostas necessárias.]
Passo 9
Conclusão prática sobre o pedido original: como as alternativas para “assinale o que for correto” não foram fornecidas no enunciado que eu recebi, NÃO É POSSÍVEL assinalar quais afirmações específicas são corretas. No entanto, calculei e expliquei acima todas as propriedades relevantes que normalmente aparecem nas alternativas; com elas você pode responder qualquer item sobre determinante, inversa, produto, traço, comutatividade, autovalores e posto.
Força aí — quando tiver as alternativas me manda que eu já respondo rapidinho comparando com os itens que calculei.
Resposta
Não é possível assinalar quais afirmações são corretas porque as alternativas não foram fornecidas no enunciado.