1. A matriz soma S=A+B é igual a \left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\\\ 1 & 2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre matrizes
S=A+B=\begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
O enunciado não especifica mais nada (não diz A ou B, nem dá outra relação). Portanto a pergunta implícita que vou responder é: quais são todas as matrizes A e B de ordem 2\times2 que satisfazem \,A+B=S? Vou descrever de forma completa e didática o conjunto de todas essas soluções e dar exemplos úteis (entre eles uma decomposição única em parte simétrica e antissimétrica).]

Passo 2

Vamos escrever as matrizes A e B com entradas gerais e igualar termo a termo. Seja
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt] g & h\end{pmatrix},
onde a,b,c,d,e,f,g,h são números reais desconhecidos. A soma A+B tem entradas obtidas somando-se as entradas correspondentes, ou seja
A+B=\begin{pmatrix}a+e & b+f\\[4pt] c+g & d+h\end{pmatrix}.
Pela informação do enunciado, essas somas devem ser iguais às entradas de S. Assim obtemos o sistema de equações nas entradas:
\begin{cases} a+e=3,\\[4pt] b+f=3,\\[4pt] c+g=1,\\[4pt] d+h=2. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de maneira direta e clara. Cada equação relaciona um par de entradas de A e B. Podemos isolar as entradas de B em função das de A:
\begin{aligned} e &= 3-a,\\[4pt] f &= 3-b,\\[4pt] g &= 1-c,\\[4pt] h &= 2-d. \end{aligned}
Isto mostra que as quatro entradas a,b,c,d de A podem ser escolhidas livremente (são parâmetros livres) e as quatro entradas de B ficam determinadas por essas escolhas. Em palavras: há infinitas soluções, formando um espaço afim de dimensão 4.]

Passo 4

Escrevendo a solução de forma matricial e explícita, obtemos a descrição geral:
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}3-a & 3-b\\[4pt] 1-c & 2-d\end{pmatrix},
para quaisquer a,b,c,d\in\mathbb{R}.
Agora alguns comentários didáticos e exemplos práticos (úteis na prova):
  • Contagem de graus de liberdade: A tem 4 entradas livres, portanto o conjunto de pares (A,B) é um conjunto infinito parametizado por 4 parâmetros.
  • Exemplos simples de pares (A,B) que funcionam:
    • Escolhendo A=\mathbf{0}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} B=S.
    • Escolhendo A=S B=\mathbf{0}.
    • Escolhendo A=\tfrac12 S=\begin{pmatrix}3/2 & 3/2\\[4pt]1/2 & 1\end{pmatrix} B=\tfrac12 S (ou seja, repartir igualmente).
  • Decomposição única simétrica + antissimétrica: qualquer matriz S pode ser escrita de forma única como soma de uma matriz simétrica S_{\text{sym}} e uma antissimétrica S_{\text{skew}}, definidas por S_{\text{sym}}=\frac{S+S^{T}}{2},\qquad S_{\text{skew}}=\frac{S-S^{T}}{2}.Para o S dado temos primeiro S^{T}=\begin{pmatrix}3&1\\[4pt]3&2\end{pmatrix}. Então S_{\text{sym}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3+3 & 3+1\\[4pt]1+3 & 2+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix},
S_{\text{skew}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3-3 & 3-1\\[4pt]1-3 & 2-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
De fato \,S_{\text{sym}}+S_{\text{skew}}=S. Esta decomposição é única — se a prova pedir uma decomposição com propriedades (ex.: A simétrica, B antissimétrica), este é o par que deve ser usado.]

Passo 5

Resumo prático para a prova (passos a lembrar):
  • Se só for dada a soma A+B=S, não há solução única: escolha arbitrariamente as entradas de A (quatro parâmetros) e obtenha B pelas equações termo a termo.
  • Se a prova exige uma decomposição com propriedades adicionais (por exemplo, simétrica + antissimétrica), use a fórmula única S_{\text{sym}}=(S+S^{T})/2 e S_{\text{skew}}=(S-S^{T})/2.
  • Exemplos rápidos: A=\mathbf{0}, B=S; ou A=S, B=\mathbf{0}; ou A=B=\tfrac12 S.

Resposta

Geral: A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}3-a & 3-b\\[4pt] 1-c & 2-d\end{pmatrix} para quaisquer a,b,c,d\in\mathbb{R}.
Decomposição única simétrica/antissimétrica: A=S_{\text{sym}}=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix},\; B=S_{\text{skew}}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.]

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