Exercício 60. (V/F) Classifique como verdadeiro ou falso:
  1. Toda função contínua é derivável.
  2. Toda função derivável é contínua.
  3. Limites laterais iguais garantem existência do limite.
  4. Funções exponenciais são contínuas.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) quatro afirmações. As quatro afirmações são:
  1. Toda função contínua é derivável.
  2. Toda função derivável é contínua.
  3. Limites laterais iguais garantem existência do limite.
  4. Funções exponenciais são contínuas.
Vou usar as informações acima exatamente como o enunciado colocou. A partir daqui vou examinar cada afirmação, explicando passo a passo os conceitos e dando exemplos ou provas.

Passo 2

Primeiro, quero lembrar (de forma curta e clara) o que significam os conceitos que vamos usar.
  • Continuidade em um ponto a: a função f é contínua em a se
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Isto significa que, ao aproximarmos x de a, os valores f(x) se aproximam do valor f(a).
  • Derivabilidade em um ponto a: a função f é derivável em a se existe o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Esse limite, quando existe e é finito, é a derivada de f em a.
  • Limites laterais em a: são
\lim_{x\to a^-} f(x)\quad\text{(limite pela esquerda)} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)\quad\text{(limite pela direita)}.
A existência do limite \lim_{x\to a} f(x) equivale (teorema padrão) a ambas as limites laterais existirem e serem iguais.
Com essas definições na mão, vamos para cada afirmação.

Passo 3

Afirmação 1: “Toda função contínua é derivável.”
Vamos entender o que a afirmação diz: ela afirma que se f é contínua em um ponto a, então necessariamente f tem derivada em a.
Contraexemplo clássico (mostra que a afirmação é falsa):
Considere a função valor absoluto
f(x)=|x|.
  • Para x>0 tem-se f(x)=x, então a derivada à direita (para x>0) é 1.
  • Para x<0 tem-se f(x)=-x, então a derivada à esquerda (para x<0) é -1.
    No ponto a=0 a função é contínua porque
\lim_{x\to 0} |x| = 0 = f(0).
Porém, ao tentar calcular a derivada em 0 usando a definição,
\lim_{h\to 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h},
esse limite não existe: para h>0 a razão vale 1, para h<0 vale -1. Como as duas notícias não coincidem, f'(0) não existe. Logo f é contínua em 0 mas não derivável em 0.
Conclusão do passo: a afirmação 1 é falsa.

Passo 4

Afirmação 2: “Toda função derivável é contínua.”
Aqui vamos provar que essa afirmação é verdadeira (e entender por quê), usando a definição de derivada.
Se f é derivável em a, então o limite
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe e é finito. Reescrevendo a diferença f(a+h)-f(a) temos
f(a+h)-f(a) = h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Tomando limite quando h\to0,
\lim_{h\to0}\bigl(f(a+h)-f(a)\bigr) = \lim_{h\to0} h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Como \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) (existe e é finito) e \lim_{h\to0}h=0, o produto dos limites é 0. Assim
\lim_{h\to0}\bigl(f(a+h)-f(a)\bigr)=0,
o que implica
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isso é exatamente a continuidade de f em a.
Conclusão do passo: toda função derivável em a é contínua em a. Portanto a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 3: “Limites laterais iguais garantem existência do limite.”
Primeiro clarificar: interpretar “limites laterais iguais” como tendo as duas quantidades
\lim_{x\to a^-} f(x)\quad\text{e}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)
existindo e sendo iguais a um mesmo número L. Sob essa leitura, existe um resultado padrão que diz exatamente:
Teorema (fórmula curta): \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a L se, e somente se, \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L.
Prova esquemática (epsilon–delta, muito usada em provas): dado \varepsilon>0, como \lim_{x\to a^-} f(x)=L existe, existe \delta_1>0 tal que, para a-\delta_1<x<a, vale |f(x)-L|<\varepsilon. Como \lim_{x\to a^+} f(x)=L existe, existe \delta_2>0 tal que, para a<x<a+\delta_2, vale |f(x)-L|<\varepsilon. Tomando \delta=\min(\delta_1,\delta_2), concluímos que para todo x com 0<|x-a|<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon, o que é a definição de \lim_{x\to a} f(x)=L. Portanto, se as duas limites laterais existem e coincidem, o limite completo existe e vale esse mesmo L.
Observação útil (para prova/exame): a igualdade das laterais é condição suficiente e necessária — mas é preciso que as duas laterais existam (por exemplo, não basta dizer “as duas laterais têm mesmo comportamento se ambas existem” — a existência é parte da hipótese).
Conclusão do passo: a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 6

Afirmação 4: “Funções exponenciais são contínuas.”
Vamos deixar claro o que se entende por “funções exponenciais”: em geral isso significa funções da forma x\mapsto a^x com base a>0. O caso mais comum e importante é x\mapsto e^x (base e).
Raciocínio prático e direto: sabe-se que as funções exponenciais são diferenciáveis em todo o domínio (por exemplo, \frac{d}{dx}e^x=e^x e, mais geralmente, \frac{d}{dx} a^x = a^x\ln a quando a>0). Pelo resultado do Passo 4 (toda função derivável é contínua), uma função que é derivável em todo ponto é contínua em todo ponto. Logo, como exponenciais são deriváveis em toda a reta, elas são contínuas em toda a reta.
Se preferir uma justificativa alternativa (mais conceitual): a expansão em série de e^x,
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},
converge uniformemente em qualquer intervalo compacto, e séries de potências definem funções contínuas — daí e^x é contínua. Para a^x com a>0 pode-se escrever a^x=e^{x\ln a}, composição de funções contínuas, logo contínua.
Conclusão do passo: a afirmação 4 é verdadeira.

Resposta

  1. Falsa
  2. Verdadeira
  3. Verdadeira
  4. Verdadeira

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