Exercício 60. (V/F) Classifique como verdadeiro ou falso:
- Toda função contínua é derivável.
- Toda função derivável é contínua.
- Limites laterais iguais garantem existência do limite.
- Funções exponenciais são contínuas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) quatro afirmações. As quatro afirmações são:
- Toda função contínua é derivável.
- Toda função derivável é contínua.
- Limites laterais iguais garantem existência do limite.
- Funções exponenciais são contínuas.
Vou usar as informações acima exatamente como o enunciado colocou. A partir daqui vou examinar cada afirmação, explicando passo a passo os conceitos e dando exemplos ou provas.
Passo 2
Primeiro, quero lembrar (de forma curta e clara) o que significam os conceitos que vamos usar.
- Continuidade em um ponto
: a função é contínua em se
Isto significa que, ao aproximarmos
de
, os valores
se aproximam do valor
.
- Derivabilidade em um ponto
: a função é derivável em se existe o limite
Esse limite, quando existe e é finito, é a derivada de
em
.
- Limites laterais em
: são
A existência do limite
equivale (teorema padrão) a ambas as limites laterais existirem e serem iguais.
Com essas definições na mão, vamos para cada afirmação.
Passo 3
Afirmação 1: “Toda função contínua é derivável.”
Vamos entender o que a afirmação diz: ela afirma que se é contínua em um ponto
, então necessariamente
tem derivada em
.
Vamos entender o que a afirmação diz: ela afirma que se
Contraexemplo clássico (mostra que a afirmação é falsa):
Considere a função valor absoluto
Considere a função valor absoluto
- Para
tem-se , então a derivada à direita (para ) é . - Para
tem-se , então a derivada à esquerda (para ) é .
No pontoa função é contínua porque
Porém, ao tentar calcular a derivada em
usando a definição,
esse limite não existe: para
a razão vale
, para
vale
. Como as duas notícias não coincidem,
não existe. Logo
é contínua em
mas não derivável em
.
Conclusão do passo: a afirmação 1 é falsa.
Passo 4
Afirmação 2: “Toda função derivável é contínua.”
Aqui vamos provar que essa afirmação é verdadeira (e entender por quê), usando a definição de derivada.
Aqui vamos provar que essa afirmação é verdadeira (e entender por quê), usando a definição de derivada.
Se
é derivável em
, então o limite
existe e é finito. Reescrevendo a diferença
temos
Tomando limite quando
,
Como
(existe e é finito) e
, o produto dos limites é
. Assim
o que implica
Isso é exatamente a continuidade de
em
.
Conclusão do passo: toda função derivável em
é contínua em
. Portanto a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 5
Afirmação 3: “Limites laterais iguais garantem existência do limite.”
Primeiro clarificar: interpretar “limites laterais iguais” como tendo as duas quantidades
Primeiro clarificar: interpretar “limites laterais iguais” como tendo as duas quantidades
existindo e sendo iguais a um mesmo número
. Sob essa leitura, existe um resultado padrão que diz exatamente:
Teorema (fórmula curta):
existe e é igual a
se, e somente se,
.
Prova esquemática (epsilon–delta, muito usada em provas): dado
, como
existe, existe
tal que, para
, vale
. Como
existe, existe
tal que, para
, vale
. Tomando
, concluímos que para todo
com
temos
, o que é a definição de
. Portanto, se as duas limites laterais existem e coincidem, o limite completo existe e vale esse mesmo
.
Observação útil (para prova/exame): a igualdade das laterais é condição suficiente e necessária — mas é preciso que as duas laterais existam (por exemplo, não basta dizer “as duas laterais têm mesmo comportamento se ambas existem” — a existência é parte da hipótese).
Conclusão do passo: a afirmação 3 é verdadeira.
Passo 6
Afirmação 4: “Funções exponenciais são contínuas.”
Vamos deixar claro o que se entende por “funções exponenciais”: em geral isso significa funções da forma com base
. O caso mais comum e importante é
(base
).
Vamos deixar claro o que se entende por “funções exponenciais”: em geral isso significa funções da forma
Raciocínio prático e direto: sabe-se que as funções exponenciais são diferenciáveis em todo o domínio (por exemplo,
e, mais geralmente,
quando
). Pelo resultado do Passo 4 (toda função derivável é contínua), uma função que é derivável em todo ponto é contínua em todo ponto. Logo, como exponenciais são deriváveis em toda a reta, elas são contínuas em toda a reta.
Se preferir uma justificativa alternativa (mais conceitual): a expansão em série de
,
converge uniformemente em qualquer intervalo compacto, e séries de potências definem funções contínuas — daí
é contínua. Para
com
pode-se escrever
, composição de funções contínuas, logo contínua.
Conclusão do passo: a afirmação 4 é verdadeira.
Resposta
- Falsa
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira