Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \quad e \quad C=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right) .
Verificar que A B=B A, A C=C A e B C=C B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as três igualdades matriciais são verdadeiras:
AB = BA,\qquad AC = CA,\qquad BC = CB.
As matrizes fornecidas são (pego do enunciado):
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Lembrete da multiplicação de matrizes (fórmula e interpretação): se X e Y são matrizes 3\times3, o elemento na linha i e coluna j do produto XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} x_{ik}\,y_{kj},
onde x_{ik} é o elemento da linha i coluna k de X e y_{kj} é o elemento da linha k coluna j de Y. Outra visão útil: a linha i de XY é combinação linear das linhas de Y, com coeficientes dados pela linha i de X:
\text{linha}_i(XY)=\sum_{k=1}^3 x_{ik}\,\text{linha}_k(Y).

Passo 3

Calcular AB usando a visão de combinação de linhas de B. As linhas de A são:
\text{linha}_1(A)=(0,0,0),\qquad \text{linha}_2(A)=(1,0,0),\qquad \text{linha}_3(A)=(0,1,0).
As linhas de B são:
\text{linha}_1(B)=(0,0,0),\qquad \text{linha}_2(B)=(0,0,0),\qquad \text{linha}_3(B)=(1,0,0).
Então
\text{linha}_1(AB)=0\cdot\text{linha}_1(B)+0\cdot\text{linha}_2(B)+0\cdot\text{linha}_3(B)=(0,0,0),
\text{linha}_2(AB)=1\cdot\text{linha}_1(B)+0\cdot\text{linha}_2(B)+0\cdot\text{linha}_3(B)=\text{linha}_1(B)=(0,0,0),
\text{linha}_3(AB)=0\cdot\text{linha}_1(B)+1\cdot\text{linha}_2(B)+0\cdot\text{linha}_3(B)=\text{linha}_2(B)=(0,0,0).
Portanto
AB=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular BA usando a mesma ideia: as linhas de B são dadas acima e as linhas de A também já listadas. Assim
\text{linha}_1(BA)=0\cdot\text{linha}_1(A)+0\cdot\text{linha}_2(A)+0\cdot\text{linha}_3(A)=(0,0,0),
\text{linha}_2(BA)=0\cdot\text{linha}_1(A)+0\cdot\text{linha}_2(A)+0\cdot\text{linha}_3(A)=(0,0,0),
\text{linha}_3(BA)=1\cdot\text{linha}_1(A)+0\cdot\text{linha}_2(A)+0\cdot\text{linha}_3(A)=\text{linha}_1(A)=(0,0,0).
Logo
BA=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Com isso AB=BA (ambos igual à matriz nula).]

Passo 5

Calcular AC. Linhas de C:
\text{linha}_1\text{(C)}=(0,0,0),\qquad \text{linha}_2\text{(C)}=(2,0,0),\qquad \text{linha}_3\text{(C)}=(1,2,0).
Usando as linhas de A (já listadas),
\text{linha}_1(AC)=0\cdot\text{linha}_1\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_2\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_3\text{(C)}=(0,0,0),
\text{linha}_2(AC)=1\cdot\text{linha}_1\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_2\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_3\text{(C)}=\text{linha}_1\text{(C)}=(0,0,0),
\text{linha}_3(AC)=0\cdot\text{linha}_1\text{(C)}+1\cdot\text{linha}_2\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_3\text{(C)}=\text{linha}_2\text{(C)}=(2,0,0).
Portanto
AC=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]2&0&0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular CA usando combinação das linhas de A com coeficientes dados pelas linhas de C. Para cada linha i de CA:
\text{linha}_i(CA)=\sum_{k=1}^3 c_{ik}\,\text{linha}_k(A).
Assim
\text{linha}_1(CA)=0\cdot\text{linha}_1(A)+0\cdot\text{linha}_2(A)+0\cdot\text{linha}_3(A)=(0,0,0),
\text{linha}_2(CA)=2\cdot\text{linha}_1(A)+0\cdot\text{linha}_2(A)+0\cdot\text{linha}_3(A)=2\cdot(0,0,0)=(0,0,0),
\text{linha}_3(CA)=1\cdot\text{linha}_1(A)+2\cdot\text{linha}_2(A)+0\cdot\text{linha}_3(A) =1\cdot(0,0,0)+2\cdot(1,0,0)=(2,0,0).
Logo
CA=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]2&0&0\end{pmatrix}.
Portanto AC=CA.]

Passo 7

Calcular BC. Linhas de B já dadas; aplicar sobre linhas de C:
\text{linha}_1(BC)=0\cdot\text{linha}_1\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_2\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_3\text{(C)}=(0,0,0),
\text{linha}_2(BC)=0\cdot\text{linha}_1\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_2\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_3\text{(C)}=(0,0,0),
\text{linha}_3(BC)=1\cdot\text{linha}_1\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_2\text{(C)}+0\cdot\text{linha}_3\text{(C)}=\text{linha}_1\text{(C)}=(0,0,0).
Assim
BC=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calcular CB usando as linhas de C combinando as linhas de B:
\text{linha}_1(CB)=0\cdot\text{linha}_1(B)+0\cdot\text{linha}_2(B)+0\cdot\text{linha}_3(B)=(0,0,0),
\text{linha}_2(CB)=2\cdot\text{linha}_1(B)+0\cdot\text{linha}_2(B)+0\cdot\text{linha}_3(B)=2\cdot(0,0,0)=(0,0,0),
\text{linha}_3(CB)=1\cdot\text{linha}_1(B)+2\cdot\text{linha}_2(B)+0\cdot\text{linha}_3(B)= (0,0,0).
Logo
CB=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Portanto BC=CB.]

Resposta

AB=BA=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}
AC=CA=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]2&0&0\end{pmatrix}
BC=CB=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}]

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