1.44 Considere as matrizes:
B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad e \quad C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) .
Determinar uma matriz A, tal que: -2(A+B)=3 A+C.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede para determinar uma matriz A que satisfaça a equação matricial
-2(A+B)=3A+C.
Informações relevantes fornecidas:
  • As entradas das matrizes B e C estão explicitadas acima (peguei esses valores do enunciado).
  • A incógnita é a matriz A (mesma dimensão que B e C, aqui 3\times3).
  • A equação envolve soma de matrizes e multiplicação por escalares.]

Passo 2

Regras e propriedades que vou usar (explicação didática):
  • Multiplicação por escalar distribui sobre a soma de matrizes: para quaisquer matrizes X,Y e escalar \lambda,
\lambda(X+Y)=\lambda X+\lambda Y.
  • Podemos somar ou subtrair a mesma matriz dos dois lados da equação matricial, assim como multiplicar ambos os lados por um escalar não nulo, exatamente como em equações numéricas.
  • Para isolar A numa equação linear em A, trato A como uma “variável” e faço operações algébricas com matrizes respeitando essas propriedades.

Passo 3

Expandir o lado esquerdo usando a distributividade:
-2(A+B)=-2A-2B.
Substituindo na equação dada obtemos
-2A-2B=3A+C.

Passo 4

Isolar os termos com A. Primeiro levar todos os termos com A para um lado:
-2A-3A-2B=C,
o que simplifica para
-5A-2B=C.
Agora somar 2B aos dois lados:
-5A=C+2B.
Multiplicar ambos os lados por -1:
5A=-C-2B.
Finalmente dividir por 5 (ou multiplicar por 1/5) para obter A:
A=\tfrac{1}{5}(-C-2B)=-\tfrac{1}{5}C-\tfrac{2}{5}B.
Comentário: dividir por 5 é válido porque 5\neq0; isso equivale a multiplicar cada entrada da matriz à direita por 1/5.

Passo 5

Calcular concretamente -C-2B. Primeiro calcular 2B (multiplicação escalar):
2B=\begin{pmatrix}2 & 4 & 6\\[4pt]0 & 2 & 4\\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix}.
Em seguida somar C e 2B e depois colocar o sinal negativo:
C+2B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2 & 4 & 6\\[4pt]0 & 2 & 4\\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 4 & 6\\[4pt]0 & 2 & 4\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Então
- (C+2B)=\begin{pmatrix}-3 & -4 & -6\\[4pt]0 & -2 & -4\\[4pt]0 & 0 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Dividir por 5 para obter A:
A=\tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-3 & -4 & -6\\[4pt]0 & -2 & -4\\[4pt]0 & 0 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} & -\tfrac{6}{5}\\[4pt]0 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5}\\[4pt]0 & 0 & -\tfrac{3}{5}\end{pmatrix}.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} & -\tfrac{6}{5}\\[4pt]0 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5}\\[4pt]0 & 0 & -\tfrac{3}{5}\end{pmatrix}]

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