Considere as matrizes:
B=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 2 \\\\ 2 & 1 & -3 \\\\ -1 & 0 & 4 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\\\ 3 & 0 & 5 \\\\ 6 & 9 & -1 \end{array}\right) \quad e \quad D=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 4 & 4 \\\\ 5 & -1 & 0 \\\\ 7 & 8 & -1 \end{array}\right) .
Determinar uma matriz A, tal que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:
\frac{1}{2}(A+B)=3(A-(2 A+C))+D.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes B, C e D e pede uma matriz A que satisfaça a equação
\frac{1}{2}(A+B)=3\bigl(A-(2A+C)\bigr)+D.
As matrizes fornecidas são
B=\begin{pmatrix}2 & 2 & 2\\[4pt]2 & 1 & -3\\[4pt]-1 & 0 & 4\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}3 & 3 & 3\\[4pt]3 & 0 & 5\\[4pt]6 & 9 & -1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}4 & 4 & 4\\[4pt]5 & -1 & 0\\[4pt]7 & 8 & -1\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a matriz A explícita (mesmo tamanho, 3\times3) que torna verdadeira a igualdade acima.]

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão do lado direito, tomando cuidado com a distribuição:
A-(2A+C)=A-2A-C=-A-C.
Multiplicando por 3 fica
3\bigl(A-(2A+C)\bigr)=3(-A-C)=-3A-3C.
Portanto a equação original fica
\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B=-3A-3C+D.

Passo 3

Agora isolo os termos com A. Somando 3A aos dois lados:
\frac{1}{2}A+3A+\frac{1}{2}B=-3C+D.
Calculo \frac{1}{2}A+3A=\bigl(\tfrac{1}{2}+3\bigr)A=\tfrac{7}{2}A. Assim
\frac{7}{2}A+\frac{1}{2}B=-3C+D.
Subtraio \tfrac{1}{2}B dos dois lados:
\frac{7}{2}A = D-3C-\frac{1}{2}B.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por \tfrac{2}{7} (inverso de \tfrac{7}{2}) para obter A:
A=\frac{2}{7}\bigl(D-3C-\tfrac{1}{2}B\bigr).
Distribuindo o \tfrac{2}{7} obtemos uma combinação linear mais clara:
A=-\frac{1}{7}B-\frac{6}{7}C+\frac{2}{7}D.
Isto significa que para achar A basta calcular essas multiplicações escalares e somar termo a termo.

Passo 5

Calculo cada um dos três termos escalares (cada multiplicação é elemento a elemento).
Termo -\dfrac{1}{7}B:
-\frac{1}{7}B=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{7} & -\dfrac{2}{7} & -\dfrac{2}{7}\\[6pt]-\dfrac{2}{7} & -\dfrac{1}{7} & \dfrac{3}{7}\\[6pt]\dfrac{1}{7} & 0 & -\dfrac{4}{7}\end{pmatrix}.
Termo -\dfrac{6}{7}C:
-\frac{6}{7}C=\begin{pmatrix}-\dfrac{18}{7} & -\dfrac{18}{7} & -\dfrac{18}{7}\\[6pt]-\dfrac{18}{7} & 0 & -\dfrac{30}{7}\\[6pt]-\dfrac{36}{7} & -\dfrac{54}{7} & \dfrac{6}{7}\end{pmatrix}.
Termo \dfrac{2}{7}D:
\frac{2}{7}D=\begin{pmatrix}\dfrac{8}{7} & \dfrac{8}{7} & \dfrac{8}{7}\\[6pt]\dfrac{10}{7} & -\dfrac{2}{7} & 0\\[6pt]\dfrac{14}{7} & \dfrac{16}{7} & -\dfrac{2}{7}\end{pmatrix}.
Observe que \dfrac{14}{7}=2, mas mantenho frações para somar com os outros termos de denominador 7.]

Passo 6

Somando os três termos elemento a elemento (todos com denominador 7):
Primeira linha:
-\frac{2}{7}-\frac{18}{7}+\frac{8}{7}=-\frac{12}{7}.
Portanto a primeira linha de A é \bigl(-\tfrac{12}{7},-\tfrac{12}{7},-\tfrac{12}{7}\bigr).
Segunda linha:
-\frac{2}{7}-\frac{18}{7}+\frac{10}{7}=-\frac{10}{7},
-\frac{1}{7}+0-\frac{2}{7}=-\frac{3}{7},
\frac{3}{7}-\frac{30}{7}+0=-\frac{27}{7}.
Portanto a segunda linha é \bigl(-\tfrac{10}{7},-\tfrac{3}{7},-\tfrac{27}{7}\bigr).
Terceira linha:
\frac{1}{7}-\frac{36}{7}+\frac{14}{7}=-\frac{21}{7}=-3,
0-\frac{54}{7}+\frac{16}{7}=-\frac{38}{7},
-\frac{4}{7}+\frac{6}{7}-\frac{2}{7}=0.
Portanto a terceira linha é \bigl(-3,-\tfrac{38}{7},0\bigr) (pode escrever -3 como -\tfrac{21}{7} se quiser consistência de denominadores).

Resposta

A=\begin{pmatrix} -\dfrac{12}{7} & -\dfrac{12}{7} & -\dfrac{12}{7}\\[6pt] -\dfrac{10}{7} & -\dfrac{3}{7} & -\dfrac{27}{7}\\[6pt] -3 & -\dfrac{38}{7} & 0 \end{pmatrix}]

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