Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrr} 5 & 1 & 2 \\\\ -1 & 4 & 2 \\\\ -3 & -2 & -8 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{rrrr} 5 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & -5 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & 7 \end{array}\right) .
Para cada matriz dada:
Calcular o traço.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o traço de cada uma das matrizes dadas. As matrizes fornecidas são (copiei-as do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\\\ -1 & 4 & 2 \\\\ -3 & -2 & -8 \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & -5 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & 7 \end{pmatrix}
O que se pede explicitamente: calcular o traço de A e o traço de B.

Passo 2

Definição e ideia principal (aquela que você pode usar direto na prova).
O traço de uma matriz quadrada M de ordem n é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Em notação:
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{ii},
onde m_{ii} denota o elemento da linha i e coluna i de M, e n é a dimensão (número de linhas = número de colunas) da matriz.
Observação prática: para calcular o traço, basta somar os elementos que ficam na diagonal de cima à esquerda para baixo à direita.

Passo 3

Aplicando a definição à matriz A.
Identifico os elementos da diagonal principal de A:
a_{11}=5,\qquad a_{22}=4,\qquad a_{33}=-8.
Agora somo esses números passo a passo:
5+4=9,
9+(-8)=1.
Portanto,
\operatorname{tr}(A)=1.

Passo 4

Aplicando a definição à matriz B.
Identifico os elementos da diagonal principal de B:
b_{11}=5,\qquad b_{22}=4,\qquad b_{33}=-5,\qquad b_{44}=7.
Somando-os passo a passo:
5+4=9,
9+(-5)=4,
4+7=11.
Portanto,
\operatorname{tr}(B)=11.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (pequena revisão útil):
  • Não confunda traço com determinante: traço é soma da diagonal, determinante é outra operação.
  • O traço é linear: \operatorname{tr}(X+Y)=\operatorname{tr}(X)+\operatorname{tr}(Y) e \operatorname{tr}(cX)=c\,\operatorname{tr}(X).
  • Em muitos problemas, somar rapidamente os elementos da diagonal já resolve; se aparecer matriz grande, foque só nesses elementos.
Força aí — já era! Vamos para o próximo exercício se quiser.

Resposta

\operatorname{tr}(A)=1
\operatorname{tr}(B)=11

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