Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrr} 5 & 1 & 2 \\\\ -1 & 4 & 2 \\\\ -3 & -2 & -8 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{rrrr} 5 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & -5 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & 7 \end{array}\right) .
Para cada matriz dada:
Verificar se são estritamente diagonalmente dominante.

Passo 1

O enunciado fornece duas matrizes e pede para verificar, para cada uma delas, se são estritamente diagonalmente dominantes. As matrizes são:
A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\\\ -1 & 4 & 2 \\\\ -3 & -2 & -8 \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & -5 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & 7 \end{pmatrix}
O pedido é: para cada matriz, verificar se, linha a linha, o valor absoluto do elemento diagonal é estritamente maior que a soma dos valores absolutos dos demais elementos daquela linha.

Passo 2

Definição e método de verificação (explicação didática passo a passo).
  • Definição: uma matriz M=(m_{ij}) é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo índice i,
|m_{ii}| > \sum_{j\ne i} |m_{ij}|.
Isto significa: pego o elemento da diagonal na linha i (isto é m_{ii}), tomo o seu valor absoluto |m_{ii}|, e comparo com a soma dos valores absolutos de todos os outros elementos na mesma linha. A desigualdade tem de ser estrita ( >), não apenas \ge.
  • Como verificar na prova: para cada linha i calcule dois números:
    1. o lado esquerdo: |m_{ii}|;
    2. o lado direito: \sum_{j\ne i}|m_{ij}|.
      Se para todas as linhas aparecer |m_{ii}|>\sum_{j\ne i}|m_{ij}|, então a matriz é estritamente diagonalmente dominante. Caso contrário, não é.
Vou aplicar exatamente esse procedimento nas duas matrizes, mostrando as contas linha a linha.

Passo 3

Verificação para a matriz A.
Linha 1 (primeira linha de A):
|a_{11}| = |5| = 5, \qquad \sum_{j\ne1}|a_{1j}| = |1| + |2| = 1 + 2 = 3.
Comparação: 5 > 3. A desigualdade estrita vale para a linha 1.
Linha 2 (segunda linha de A):
|a_{22}| = |4| = 4, \qquad \sum_{j\ne2}|a_{2j}| = |-1| + |2| = 1 + 2 = 3.
Comparação: 4 > 3. A desigualdade estrita vale para a linha 2.
Linha 3 (terceira linha de A):
|a_{33}| = |-8| = 8, \qquad \sum_{j\ne3}|a_{3j}| = |-3| + |-2| = 3 + 2 = 5.
Comparação: 8 > 5. A desigualdade estrita vale para a linha 3.
Como todas as três linhas satisfazem |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|, concluímos que A é estritamente diagonalmente dominante por linhas.

Passo 4

Comentário pedagógico curto sobre consequência prática (útil na prova):
  • Uma matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas é necessariamente inversível (não singular). Isso é um resultado que costuma aparecer associado a esse conceito e às vezes justifica por que o método iterativo de Gauss–Seidel converge; mas aqui só vale a pena saber que dominância estrita garante não singularidade.

Passo 5

Verificação para a matriz B.
Linha 1 (primeira linha de B):
|b_{11}| = |5| = 5, \qquad \sum_{j\ne1}|b_{1j}| = |2| + |0| + |1| = 2 + 0 + 1 = 3.
Comparação: 5 > 3. Desigualdade estrita vale para a linha 1.
Linha 2 (segunda linha de B):
|b_{22}| = |4| = 4, \qquad \sum_{j\ne2}|b_{2j}| = |0| + |2| + |-1| = 0 + 2 + 1 = 3.
Comparação: 4 > 3. Desigualdade estrita vale para a linha 2.
Linha 3 (terceira linha de B):
|b_{33}| = |-5| = 5, \qquad \sum_{j\ne3}|b_{3j}| = |1| + |0| + |1| = 1 + 0 + 1 = 2.
Comparação: 5 > 2. Desigualdade estrita vale para a linha 3.
Linha 4 (quarta linha de B):
|b_{44}| = |7| = 7, \qquad \sum_{j\ne4}|b_{4j}| = |3| + |2| + |1| = 3 + 2 + 1 = 6.
Comparação: 7 > 6. Desigualdade estrita vale para a linha 4.
Como todas as quatro linhas de B satisfazem |b_{ii}|>\sum_{j\ne i}|b_{ij}|, concluímos que B também é estritamente diagonalmente dominante por linhas.

Passo 6

Resumo final das conclusões (curto e motivador):
  • Verificamos linha a linha com as contas. Tanto A quanto B satisfazem a condição de dominância diagonal estrita em todas as suas linhas, logo ambas são estritamente diagonalmente dominantes. Ótimo trabalho — nos resta só decorar o critério que é simples de aplicar na prova: comparar o módulo do elemento diagonal com a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha.

Resposta

A é estritamente diagonalmente dominante por linhas.
B é estritamente diagonalmente dominante por linhas.

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