Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrr} 5 & 1 & 2 \\\\ -1 & 4 & 2 \\\\ -3 & -2 & -8 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{rrrr} 5 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & -5 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & 7 \end{array}\right) .
Para cada matriz dada:
Determinar os menores principais.

Passo 1

O enunciado pede: “Para cada matriz dada: Determinar os menores principais.”
As matrizes fornecidas são
A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 4 & 2\\[4pt] -3 & -2 & -8 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 4 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 0 & -5 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 7 \end{pmatrix}.
O que entendo por “menores principais” (definição que vou usar): são os determinantes dos subespaços principais, isto é, dos sub-matrizes obtidas selecionando um mesmo conjunto de índices para linhas e colunas. Para uma matriz n\times n há menores principais de ordem 1 (cada entrada diagonal), de ordem 2 (pares de índices), etc., até ordem n (determinante da matriz inteira). Vou calcular todos os menores principais de cada ordem para A e para B. Se o professor quisesse apenas os menores principais “leading” (os do canto superior-esquerdo), esses são um subconjunto dos que vou apresentar; aviso só por precaução.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre como calcular determinantes que vou usar:
  • Para uma matriz 1\times1 o determinante é o próprio número.
  • Para uma matriz 2\times2
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
  • Para uma matriz 3\times3 uso expansão por cofactores (fórmula padrão): para
M=\begin{pmatrix} m_{11}&m_{12}&m_{13}\\[4pt] m_{21}&m_{22}&m_{23}\\[4pt] m_{31}&m_{32}&m_{33} \end{pmatrix}
valem, por exemplo,
\det M = m_{11}\det\begin{pmatrix}m_{22}&m_{23}\\[4pt]m_{32}&m_{33}\end{pmatrix} - m_{12}\det\begin{pmatrix}m_{21}&m_{23}\\[4pt]m_{31}&m_{33}\end{pmatrix} + m_{13}\det\begin{pmatrix}m_{21}&m_{22}\\[4pt]m_{31}&m_{32}\end{pmatrix}.
Para 4\times4 posso usar expansão por cofactores numa linha/coluna conveniente e aproveitar determinantes 3\times3 já calculados.
Agora aplico isso em A e em B.]

Passo 3

Menores principais de ordem 1 da matriz A: são as entradas diagonais.
\det([\;5\;])=5,\qquad \det([\;4\;])=4,\qquad \det([\;-8\;])=-8.

Passo 4

Menores principais de ordem 2 da matriz A. Existem três submatrizes principais 2\times2, correspondentes aos pares \{1,2\}, \{1,3\} e \{2,3\}.
Para \{1,2\}:
\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = 5\cdot4 - 1\cdot(-1)=20+1=21.
Para \{1,3\}:
\begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt]-3 & -8\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = 5\cdot(-8) - 2\cdot(-3)=-40+6=-34.
Para \{2,3\}:
\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-2 & -8\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = 4\cdot(-8) - 2\cdot(-2)=-32+4=-28.]

Passo 5

Menor principal de ordem 3 (determinante da matriz inteira A). Uso expansão pela primeira linha:
\det A = 5\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-2 & -8\end{pmatrix} - 1\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-3 & -8\end{pmatrix} + 2\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]-3 & -2\end{pmatrix}.
Calculo cada termo:
5\big(4\cdot(-8)-2\cdot(-2)\big)=5(-32+4)=5(-28)=-140,
-1\big((-1)\cdot(-8)-2\cdot(-3)\big)=-1(8+6)=-14,
2\big((-1)\cdot(-2)-4\cdot(-3)\big)=2(2+12)=2\cdot14=28.
Somando:
\det A = -140 -14 +28 = -126.]

Passo 6

Agora a matriz B. Menores principais de ordem 1 (entradas diagonais):
\det([\;5\;])=5,\qquad \det([\;4\;])=4,\qquad \det([\;-5\;])=-5,\qquad \det([\;7\;])=7.

Passo 7

Menores principais de ordem 2 da matriz B. Existem \binom{4}{2}=6 deles; calculo um a um.
Índices \{1,2\}:
\begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = 5\cdot4-2\cdot0=20.
Índices \{1,3\}:
\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = 5\cdot(-5)-0\cdot1=-25.
Índices \{1,4\}:
\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]3 & 7\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = 5\cdot7 - 1\cdot3=35-3=32.
Índices \{2,3\}:
\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = 4\cdot(-5)-2\cdot0=-20.
Índices \{2,4\}:
\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]2 & 7\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = 4\cdot7 - (-1)\cdot2=28+2=30.
Índices \{3,4\}:
\begin{pmatrix}-5 & 1\\[4pt]1 & 7\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = (-5)\cdot7 - 1\cdot1=-35-1=-36.]

Passo 8

Menores principais de ordem 3 da matriz B. Há \binom{4}{3}=4 submatrizes principais 3\times3. Calculo cada uma.
Índices \{1,2,3\}: submatriz
M_{123}=\begin{pmatrix}5&2&0\\[4pt]0&4&2\\[4pt]1&0&-5\end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det M_{123} = 5\det\begin{pmatrix}4&2\\[4pt]0&-5\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]1&-5\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Cálculos:
5(4\cdot(-5)-2\cdot0)=5(-20)=-100, \qquad -2(0\cdot(-5)-2\cdot1)=-2(0-2)=4.
Portanto \det M_{123}=-96.
Índices \{1,2,4\}: submatriz
M_{124}=\begin{pmatrix}5&2&1\\[4pt]0&4&-1\\[4pt]3&2&7\end{pmatrix}.
Expansão (primeira linha):
\det M_{124}=5\det\begin{pmatrix}4&-1\\[4pt]2&7\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]3&7\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}0&4\\[4pt]3&2\end{pmatrix}.
Cálculos:
5(4\cdot7 -(-1)\cdot2)=5(28+2)=150,
-2(0\cdot7 -(-1)\cdot3)=-2(0+3)=-6,
1(0\cdot2 - 4\cdot3)= -12.
Somando: 150-6-12=132. Logo \det M_{124}=132.
Índices \{1,3,4\}: submatriz
M_{134}=\begin{pmatrix}5&0&1\\[4pt]1&-5&1\\[4pt]3&1&7\end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det M_{134}=5\det\begin{pmatrix}-5&1\\[4pt]1&7\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots)+1\det\begin{pmatrix}1&-5\\[4pt]3&1\end{pmatrix}.
Cálculos:
5((-5)\cdot7 - 1\cdot1)=5(-35-1)=-180,
1(1\cdot1 -(-5)\cdot3)=1(1+15)=16.
Somando: -180+16=-164. Assim \det M_{134}=-164.
Índices \{2,3,4\}: submatriz
M_{234}=\begin{pmatrix}4&2&-1\\[4pt]0&-5&1\\[4pt]2&1&7\end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det M_{234}=4\det\begin{pmatrix}-5&1\\[4pt]1&7\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]2&7\end{pmatrix} +(-1)\det\begin{pmatrix}0&-5\\[4pt]2&1\end{pmatrix}.
Cálculos:
4((-5)\cdot7 -1\cdot1)=4(-35-1)=-144,
-2(0\cdot7 -1\cdot2)=-2(0-2)=4,
(-1)(0\cdot1 -(-5)\cdot2)=(-1)(0+10)=-10.
Somando: -144+4-10=-150. Logo \det M_{234}=-150.]

Passo 9

Determinante de ordem 4 (menor principal de ordem 4 = determinante da matriz inteira B). Faço expansão pela primeira linha e reutilizo os 3\times3 já calculados quando possível.
Expansão pela primeira linha:
\det B = 5\det M_{11} - 2\det M_{12} + 0\cdot(\cdots) + 1\cdot(-1)^{1+4}\det M_{14},
onde
  • M_{11} é a submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1, isto é M_{234} (os índices 2,3,4 nas colunas 2,3,4). Já calculamos \det M_{234}=-150, então \det M_{11}=-150.
  • \det M_{12} é o determinante da submatriz formada por linhas 2,3,4 e colunas 1,3,4; calculei-o explicitamente (veja cálculo abaixo) e obtive -24.
  • M_{14} é a submatriz com linhas 2,3,4 e colunas 1,2,3; calculei-a explicitamente e obtive -60.
Para ser claro, os cálculos intermediários foram:
\det M_{12}=\det\begin{pmatrix}0&2&-1\\[4pt]1&-5&1\\[4pt]3&1&7\end{pmatrix}=-24, \qquad \det M_{14}=\det\begin{pmatrix}0&4&2\\[4pt]1&0&-5\\[4pt]3&2&1\end{pmatrix}=-60.
Agora a expansão:
\det B = 5(-150) - 2(-24) - 1\cdot(-60) = -750 +48 +60 = -642.]

Resposta

A: menores principais de A:
\;5,\;4,\;-8;\;21,\;-34,\;-28;\;-126.
B: menores principais de B:
\;5,\;4,\;-5,\;7;\;20,\;-25,\;32,\;-20,\;30,\;-36;\;-96,\;132,\;-164,\;-150;\;-642.

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