Calcular:
a) \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B).
b) O cofator dos elementos a_{32} e b_{23}.
c) \operatorname{det}(A B).
d) \operatorname{det}\left(A^{-1}\right) e \operatorname{det}\left(B^{-1}\right).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. As matrizes fornecidas são
O enunciado pede:
a) calcular \det(A) e \det(B);
b) calcular o cofator do elemento a_{32} (isto é, o cofator associado à entrada na linha 3, coluna 2 de A) e o cofator do elemento b_{23} (linha 2, coluna 3 de B);
c) calcular \det(AB);
d) calcular \det\bigl(A^{-1}\bigr) e \det\bigl(B^{-1}\bigr).
Passo 2
Explicação curta sobre determinante de 3\times3 e cálculo de \det(A).
Regra (cofator/expansão por primeira linha): para uma matriz 3\times3
Observação: quando uma coluna (ou linha) tem muitos zeros, é conveniente expandir por essa coluna (expansão por cofatores). Na matriz B, a 3ª coluna tem b_{13}=0, b_{23}=0 e b_{33}=2. Expandindo por essa coluna:
Aqui C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=M_{33}, e M_{33} é o determinante do menor obtido ao remover linha 3 e coluna 3, isto é a matriz 2\times2
\begin{pmatrix}1 & 5 \\\\ 3 & -5\end{pmatrix}.
Então
M_{33}=1\cdot(-5)-5\cdot3=-5-15=-20.
Portanto
\det(B)=2\cdot(-20)=-40.
(Observação alternativa: B é uma matriz em bloco triangular; o determinante é o produto dos determinantes dos blocos diagonais, aqui \det\begin{pmatrix}1&5\\\ 3&-5\end{pmatrix}\cdot 2.)
Passo 4
Definição de menor e cofator e cálculo dos cofatores pedidos.
Definição: o menor M_{ij} de uma entrada a_{ij} é o determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j. O cofator C_{ij} é
a) \det(A)=-18 e \det(B)=-40
b) \text{cof}(a_{32})=3 e \text{cof}(b_{23})=0
c) \det(AB)=720
d) \det\bigl(A^{-1}\bigr)=-\dfrac{1}{18} e \det\bigl(B^{-1}\bigr)=-\dfrac{1}{40}