1.71 Considere as matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & -3 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 0 \\\\ 3 & -5 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) .
Calcular:
a) \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B).
b) O cofator dos elementos a_{32} e b_{23}.
c) \operatorname{det}(A B).
d) \operatorname{det}\left(A^{-1}\right) e \operatorname{det}\left(B^{-1}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. As matrizes fornecidas são
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & -3 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right) \quad\text{e}\quad B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 0 \\\\ 3 & -5 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right).
O enunciado pede:
a) calcular \det(A) e \det(B);
b) calcular o cofator do elemento a_{32} (isto é, o cofator associado à entrada na linha 3, coluna 2 de A) e o cofator do elemento b_{23} (linha 2, coluna 3 de B);
c) calcular \det(AB);
d) calcular \det\bigl(A^{-1}\bigr) e \det\bigl(B^{-1}\bigr).

Passo 2

Explicação curta sobre determinante de 3\times3 e cálculo de \det(A).
Regra (cofator/expansão por primeira linha): para uma matriz 3\times3
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},
onde M_{1j} é o determinante do menor que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna j.
Aplicando em A:
\det(A)=2\cdot\begin{vmatrix}-3 & 0 \\\\ -1 & 2\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}3 & 0 \\\\ 1 & 2\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}3 & -3 \\\\ 1 & -1\end{vmatrix}.
Calculemos os menores:
\begin{vmatrix}-3 & 0 \\\\ -1 & 2\end{vmatrix}=(-3)\cdot2-0\cdot(-1)=-6,
\begin{vmatrix}3 & 0 \\\\ 1 & 2\end{vmatrix}=3\cdot2-0\cdot1=6,
\begin{vmatrix}3 & -3 \\\\ 1 & -1\end{vmatrix}=3\cdot(-1)-(-3)\cdot1=-3+3=0.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-6)-1\cdot6+1\cdot0=-12-6=-18.

Passo 3

Cálculo de \det(B) e explicação útil.
Observação: quando uma coluna (ou linha) tem muitos zeros, é conveniente expandir por essa coluna (expansão por cofatores). Na matriz B, a 3ª coluna tem b_{13}=0, b_{23}=0 e b_{33}=2. Expandindo por essa coluna:
\det(B)=b_{13}C_{13}+b_{23}C_{23}+b_{33}C_{33}=0+0+2\cdot C_{33}.
Aqui C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=M_{33}, e M_{33} é o determinante do menor obtido ao remover linha 3 e coluna 3, isto é a matriz 2\times2
\begin{pmatrix}1 & 5 \\\\ 3 & -5\end{pmatrix}.
Então
M_{33}=1\cdot(-5)-5\cdot3=-5-15=-20.
Portanto
\det(B)=2\cdot(-20)=-40.
(Observação alternativa: B é uma matriz em bloco triangular; o determinante é o produto dos determinantes dos blocos diagonais, aqui \det\begin{pmatrix}1&5\\\ 3&-5\end{pmatrix}\cdot 2.)

Passo 4

Definição de menor e cofator e cálculo dos cofatores pedidos.
Definição: o menor M_{ij} de uma entrada a_{ij} é o determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j. O cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Para a_{32} em A (linha 3, coluna 2):
  • Elimina-se a linha 3 e a coluna 2 de A, o menor é
M_{32}=\begin{vmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 0\end{vmatrix}=2\cdot0-1\cdot3=-3.
  • O sinal é (-1)^{3+2}=(-1)^5=-1, logo o cofator é
C_{32}=(-1)\cdot(-3)=3.
Para b_{23} em B (linha 2, coluna 3):
  • Elimina-se a linha 2 e a coluna 3 de B, o menor é
M_{23}=\begin{vmatrix}1 & 5 \\\\ 0 & 0\end{vmatrix}=1\cdot0-5\cdot0=0.
  • O sinal é (-1)^{2+3}=(-1)^5=-1, então o cofator é
C_{23}=(-1)\cdot0=0.

Passo 5

Cálculo de \det(AB) usando a propriedade multiplicativa dos determinantes.
Teorema (importante e muito usado): para matrizes quadradas compatíveis, \det(AB)=\det(A)\det(B).
Já calculamos \det(A)=-18 e \det(B)=-40. Portanto
\det(AB)=(-18)\cdot(-40)=720.

Passo 6

Determinante da inversa de uma matriz invertível.
Propriedade: se A é invertível então \det\bigl(A^{-1}\bigr)=\dfrac{1}{\det(A)}. (Prova rápida: \det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1.)
Aplicando:
\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{-18}=-\frac{1}{18},
\det\bigl(B^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(B)}=\frac{1}{-40}=-\frac{1}{40}.

Resposta

a) \det(A)=-18 e \det(B)=-40
b) \text{cof}(a_{32})=3 e \text{cof}(b_{23})=0
c) \det(AB)=720
d) \det\bigl(A^{-1}\bigr)=-\dfrac{1}{18} e \det\bigl(B^{-1}\bigr)=-\dfrac{1}{40}

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