Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ -2 & 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}4 & x \\\ y & 3\end{array}\right]. Determine x, y \in \mathbb{R} de modo que A B=B A.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A\in\mathbb{R}^{2\times2} e B\in\mathbb{R}^{2\times2}:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -2 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4 & x \\\ y & 3\end{pmatrix},
e pede os valores de x,y\in\mathbb{R} tais que AB=BA. Vamos usar multiplicação de matrizes e igualar as entradas correspondentes.

Passo 2

Calcular o produto AB:
AB = A\,B = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & x \\\ y & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot4 + 3\cdot y & 1\cdot x + 3\cdot3 \\\\ -2\cdot4 + 2\cdot y & -2\cdot x + 2\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 3y & x + 9 \\\\ -8 + 2y & -2x + 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular o produto BA:
BA = B\,A = \begin{pmatrix}4 & x \\\ y & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot1 + x\cdot(-2) & 4\cdot3 + x\cdot2 \\\ y\cdot1 + 3\cdot(-2) & y\cdot3 + 3\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 2x & 12 + 2x \\\ y - 6 & 3y + 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Impor AB=BA igualando entradas:
4 + 3y = 4 - 2x, \quad x + 9 = 12 + 2x, \quad -8 + 2y = y - 6, \quad -2x + 6 = 3y + 6.
Isso gera um sistema de quatro equações em x,y.

Passo 5

Resolver o sistema em duas etapas:
  1. Da segunda equação
x + 9 = 12 + 2x \;\Longrightarrow\; 9 - 12 = 2x - x \;\Longrightarrow\; x = -3.
  1. Da terceira equação
-8 + 2y = y - 6 \;\Longrightarrow\; 2y - y = -6 + 8 \;\Longrightarrow\; y = 2.
Verificamos que com x=-3 e y=2 as outras duas equações também se satisfazem.

Resposta

x = -3,\quad y = 2

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