Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ -2 & 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}4 & x \\\ y & 3\end{array}\right]. Determine x, y \in \mathbb{R} de modo que A B=B A.
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes A\in\mathbb{R}^{2\times2} e B\in\mathbb{R}^{2\times2}:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -2 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4 & x \\\ y & 3\end{pmatrix},
e pede os valores de x,y\in\mathbb{R} tais que AB=BA. Vamos usar multiplicação de matrizes e igualar as entradas correspondentes.
Passo 2
Calcular o produto AB:
AB = A\,B = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & x \\\ y & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot4 + 3\cdot y & 1\cdot x + 3\cdot3 \\\\ -2\cdot4 + 2\cdot y & -2\cdot x + 2\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 3y & x + 9 \\\\ -8 + 2y & -2x + 6 \end{pmatrix}.