Sejam A=\left[a_{i j}\right]_{2 \times 3} e B=\left[b_{i j}\right]_{3 \times 2}, matrizes tais que:
a_{i j}=\left\{\begin{array}{cc} 0, & \text { se } i=j \\\ i+j-1, & \text { se } i \neq j \end{array} \quad \text { e } \quad b_{i j}=(-1)^{i+j} .\right.
Determine A+B^{T}.

Passo 1

Temos A\) de ordem \(2\times3\) com \[a_{ij} = \begin{cases} 0, & i=j,\\\ i+j-1, & i\neq j, \end{cases}
e B\] de ordem \(3\times2 com
b_{ij}=(-1)^{\,i+j}.
Queremos A + B^{T}, que também é 2\times3, e cujos elementos são
(A+B^{T})_{ij} \;=\; a_{ij} \;+\; b_{j\,i}.

Passo 2

Primeiro escrevemos B^{T}. Como \bigl(B^{T}\bigr)_{ij} = b_{j\,i}, segue
\bigl(B^{T}\bigr)_{ij} = (-1)^{\,j+i}.

Passo 3

Calculamos a primeira linha de A+B^{T} ( i=1, j=1,2,3):
  • Para j=1: a_{11}=0 e \bigl(B^{T}\bigr)_{11}=(-1)^{1+1}=1, logo (A+B^{T})_{11}=0+1=1.
  • Para j=2: a_{12}=1+2-1=2 e \bigl(B^{T}\bigr)_{12}=(-1)^{2+1}=-1, logo (A+B^{T})_{12}=2-1=1.
  • Para j=3: a_{13}=1+3-1=3 e \bigl(B^{T}\bigr)_{13}=(-1)^{3+1}=1, logo (A+B^{T})_{13}=3+1=4.

Passo 4

Calculamos a segunda linha de A+B^{T} ( i=2, j=1,2,3):
  • Para j=1: a_{21}=2+1-1=2 e \bigl(B^{T}\bigr)_{21}=(-1)^{1+2}=-1, logo (A+B^{T})_{21}=2-1=1.
  • Para j=2: a_{22}=0 e \bigl(B^{T}\bigr)_{22}=(-1)^{2+2}=1, logo (A+B^{T})_{22}=0+1=1.
  • Para j=3: a_{23}=2+3-1=4 e \bigl(B^{T}\bigr)_{23}=(-1)^{3+2}=-1, logo (A+B^{T})_{23}=4-1=3.

Resposta

A + B^{T} \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

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