Seja A=\left[\begin{array}{cc}5 & 6 x-9 \\\ x^{2} & 10\end{array}\right]. Determine x \in \mathbb{R} de modo que A seja uma matriz simétrica.

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix}5 & 6x - 9 \\[6pt] x^{2} & 10\end{pmatrix}
e queremos que A seja simétrica. Por definição, uma matriz 2\times 2 \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}
é simétrica se, e somente se, b = c.]

Passo 2

Aplicando essa condição à nossa matriz, igualamos o elemento na posição (1,2) ao da posição (2,1):
6x - 9 = x^{2}.

Passo 3

Reescrevemos essa igualdade como uma equação polinomial padrão:
x^{2} - 6x + 9 = 0.

Passo 4

Calculamos o discriminante \Delta para resolver a equação do segundo grau:
\Delta = (-6)^{2} - 4\cdot1\cdot9 = 36 - 36 = 0.
Como \Delta = 0, há uma raiz real dupla dada por
x = \frac{6}{2} = 3.

Resposta

x = 3

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