Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}a & 6 \\\\ -1 & 2 d\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}4 & a+b \\\ c+d & 3\end{array}\right]. Determine a, b, c, d \in \mathbb{R} de modo que 3 A=B+C.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}a & 6 \\\\ -1 & 2d\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}4 & a+b \\\ c+d & 3\end{pmatrix}
e pede os reais a,b,c,d tais que
3A = B + C.
Vamos usar a propriedade de igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais se, e somente se, todos os seus elementos correspondentes são iguais.

Passo 2

Primeiro calculamos 3A e B+C.
3A = \begin{pmatrix}3a & 3b \\\\ 3c & 3d\end{pmatrix}
B + C = \begin{pmatrix}a + 4 & 6 + (a + b) \\\\ -1 + (c + d) & 2d + 3\end{pmatrix}

Passo 3

Igualando a entrada (1,1) de ambas as matrizes:
3a = a + 4
2a = 4 \quad\Longrightarrow\quad a = 2

Passo 4

Igualando a entrada (1,2):
3b = 6 + (a + b)
Substituindo a=2:
3b = 6 + (2 + b) = 8 + b
2b = 8 \quad\Longrightarrow\quad b = 4

Passo 5

Igualando a entrada (2,1):
3c = -1 + (c + d)
3c = c + d - 1
2c = d - 1 \quad\Longrightarrow\quad d = 2c + 1

Passo 6

Igualando a entrada (2,2):
3d = 2d + 3
d = 3

Passo 7

Substituindo d=3 na relação d = 2c + 1:
3 = 2c + 1
2c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c = 1

Resposta

a = 2,\; b = 4,\; c = 1,\; d = 3

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