O enunciado, porém, não faz nenhuma pergunta explícita. Ou seja:
Não foi indicado o que calcular (por exemplo: produto, determinante, inversa, posto, autovalores, resolução de sistema, verificar igualdade entre produtos etc.).
Sem saber qual operação/pergunta específica, não há um “problema” único a ser resolvido.
Passo 2
Por que isso impede uma resolução direta?
Em problemas com matrizes, cada tipo de pergunta exige passos e conceitos diferentes (ex.: para inverter uma matriz faço eliminação; para calcular produto aplico definição de multiplicação; para determinante uso fórmulas distintas para 2\times2 e 3\times3; para autovalores preciso resolver um polinômio característico).
Sem a pergunta, não há critério para escolher qual procedimento aplicar, portanto não há um único caminho de resolução a ser seguido até uma resposta final.
Passo 3
Informação útil que já posso extrair (isto ajuda a saber o que poderia ser pedido):
Dimensões das matrizes:A\in\mathbb{R}^{3\times2},\quad B\in\mathbb{R}^{2\times2},\quad C\in\mathbb{R}^{2\times3},\quad D\in\mathbb{R}^{3\times3},\quad E\in\mathbb{R}^{3\times3}.
Com essa informação já é possível dizer quais multiplicações de forma compatível poderiam ser feitas (sem ainda calcular valores). Por exemplo, A B é definido porque A é 3\times2 e B é 2\times2; já B A não é definido porque B é 2\times2 e A é 3\times2 (as dimensões internas não batem).
Passo 4
Lista das multiplicações entre essas matrizes que são definidas (compatibilidade de dimensões):
A(3\times2)\cdot B(2\times2) está definido \Rightarrow resultado 3\times2.
A\cdot C está definido: A(3\times2)\cdot C(2\times3)\Rightarrow resultado 3\times3.
B\cdot C está definido: B(2\times2)\cdot C(2\times3)\Rightarrow resultado 2\times3.
C\cdot A está definido: C(2\times3)\cdot A(3\times2)\Rightarrow resultado 2\times2.
C\cdot D e C\cdot E estão definidos: 2\times3 vezes 3\times3\Rightarrow2\times3.
D\cdot A e E\cdot A estão definidos: 3\times3 vezes 3\times2\Rightarrow3\times2.
D\cdot E e E\cdot D estão definidos: 3\times3 vezes 3\times3\Rightarrow3\times3.
Produtos como B\cdot A, B\cdot D, A\cdot D, etc., onde as dimensões internas não coincidem, não estão definidos.
Passo 5
Mini-aula sobre operações que costumam ser pedidas (com fórmulas e como fazer na prova), e alguns cálculos rápidos e úteis aplicáveis aqui:
Regra de compatibilidade para multiplicação
Para multiplicar X\in\mathbb{R}^{m\times n} por Y\in\mathbb{R}^{p\times q} é preciso n=p. O resultado é uma matriz m\times q.
Elemento (i,j) do produto XY é a soma dos produtos linha i de X pela coluna j de Y:(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Determinante de 2\times2 e inversa
Para M=\begin{bmatrix}a&b\\\ c&d\end{bmatrix},\det(M)=ad-bc.
Se \det(M)\neq0, a inversa éM^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{bmatrix}.
Aplicação rápida em B=\begin{bmatrix}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{bmatrix}:\det(B)=4\cdot2-(-1)\cdot0=8.Como \det(B)=8\neq0, B é invertível eB^{-1}=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}2 & 1 \\\\ 0 & 4\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1/4 & 1/8 \\\\ 0 & 1/2\end{bmatrix}.
Determinante de 3\times3 (regra de Sarrus / expansão)
Para uma matriz 3\times3,\det\begin{bmatrix}a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{bmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicação rápida em D e E (útil para saber se são invertíveis):
Para D=\begin{bmatrix}1&5&2\\\\ -1&0&1\\\\ 3&2&4\end{bmatrix}:\det(D)=1\cdot(0\cdot4-1\cdot2)-5\cdot((-1)\cdot4-1\cdot3)+2\cdot((-1)\cdot2-0\cdot3)=29.Logo \det(D)=29\neq0\Rightarrow D é invertível.
Para E=\begin{bmatrix}6&1&3\\\\ -1&1&2\\\\ 4&1&3\end{bmatrix}:\det(E)=6\cdot(1\cdot3-2\cdot1)-1\cdot((-1)\cdot3-2\cdot4)+3\cdot((-1)\cdot1-1\cdot4)=2.Logo \det(E)=2\neq0\Rightarrow E também é invertível.
Posto (rank) e método prático
O posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Na prática de prova, calcula-se via eliminação de Gauss (redução por linhas) até identificar quantas linhas não-nulas restam.
Para matrizes retangulares (como A e C), o posto é uma pergunta típica: envolve aplicar operações elementares por linhas.
Autovalores e autovetores (breve)
Para matrizes quadradas M, autovalores \lambda vêm da equação \det(M-\lambda I)=0. Para 2\times2 ou 3\times3 isso vira resolver um polinômio (característico). Em prova, muitas vezes pedem apenas calcular autovalores simples de matrizes 2\times2 ou verificar se um vetor é autovetor.
Passo 6
Conclusão prática para este enunciado: com as matrizes dadas posso identificar dimensões, saber que B,D,E são invertíveis (determinantes não nulos) e que algumas multiplicações são definidas, mas não há como executar uma “resolução completa” porque não foi formulada nenhuma pergunta específica. Se o objetivo é treinar, eu posso:
calcular qualquer um dos produtos compatíveis (por exemplo AB, AC, C A, D E, etc.);
calcular inversas concretas de B,D,E (já verificado que existem);
calcular postos ou autovalores conforme pedido.
Não vou escolher arbitrariamente qual desses cálculos fazer, porque isso seria inventar uma pergunta que o enunciado não fez.
Resposta
Não é possível dar uma resolução completa porque o enunciado não contém nenhuma pergunta: foram apenas fornecidas as matrizes A,B,C,D,E.