Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado fornece cinco matrizes (copiadas diretamente do enunciado):
A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{bmatrix},
D=\begin{bmatrix}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{bmatrix},\qquad E=\begin{bmatrix}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{bmatrix}.
O enunciado, porém, não faz nenhuma pergunta explícita. Ou seja:
  • Não foi indicado o que calcular (por exemplo: produto, determinante, inversa, posto, autovalores, resolução de sistema, verificar igualdade entre produtos etc.).
  • Sem saber qual operação/pergunta específica, não há um “problema” único a ser resolvido.

Passo 2

Por que isso impede uma resolução direta?
  • Em problemas com matrizes, cada tipo de pergunta exige passos e conceitos diferentes (ex.: para inverter uma matriz faço eliminação; para calcular produto aplico definição de multiplicação; para determinante uso fórmulas distintas para 2\times2 e 3\times3; para autovalores preciso resolver um polinômio característico).
  • Sem a pergunta, não há critério para escolher qual procedimento aplicar, portanto não há um único caminho de resolução a ser seguido até uma resposta final.

Passo 3

Informação útil que já posso extrair (isto ajuda a saber o que poderia ser pedido):
  • Dimensões das matrizes: A\in\mathbb{R}^{3\times2},\quad B\in\mathbb{R}^{2\times2},\quad C\in\mathbb{R}^{2\times3},\quad D\in\mathbb{R}^{3\times3},\quad E\in\mathbb{R}^{3\times3}.
  • Com essa informação já é possível dizer quais multiplicações de forma compatível poderiam ser feitas (sem ainda calcular valores). Por exemplo, A B é definido porque A é 3\times2 e B é 2\times2; já B A não é definido porque B é 2\times2 e A é 3\times2 (as dimensões internas não batem).

Passo 4

Lista das multiplicações entre essas matrizes que são definidas (compatibilidade de dimensões):
  • A(3\times2)\cdot B(2\times2) está definido \Rightarrow resultado 3\times2.
  • A\cdot C está definido: A(3\times2)\cdot C(2\times3)\Rightarrow resultado 3\times3.
  • B\cdot C está definido: B(2\times2)\cdot C(2\times3)\Rightarrow resultado 2\times3.
  • C\cdot A está definido: C(2\times3)\cdot A(3\times2)\Rightarrow resultado 2\times2.
  • C\cdot D e C\cdot E estão definidos: 2\times3 vezes 3\times3\Rightarrow2\times3.
  • D\cdot A e E\cdot A estão definidos: 3\times3 vezes 3\times2\Rightarrow3\times2.
  • D\cdot E e E\cdot D estão definidos: 3\times3 vezes 3\times3\Rightarrow3\times3.
  • Produtos como B\cdot A, B\cdot D, A\cdot D, etc., onde as dimensões internas não coincidem, não estão definidos.

Passo 5

Mini-aula sobre operações que costumam ser pedidas (com fórmulas e como fazer na prova), e alguns cálculos rápidos e úteis aplicáveis aqui:
  1. Regra de compatibilidade para multiplicação
  • Para multiplicar X\in\mathbb{R}^{m\times n} por Y\in\mathbb{R}^{p\times q} é preciso n=p. O resultado é uma matriz m\times q.
  • Elemento (i,j) do produto XY é a soma dos produtos linha i de X pela coluna j de Y: (XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
  1. Determinante de 2\times2 e inversa
  • Para M=\begin{bmatrix}a&b\\\ c&d\end{bmatrix}, \det(M)=ad-bc.
  • Se \det(M)\neq0, a inversa é M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{bmatrix}.
  • Aplicação rápida em B=\begin{bmatrix}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{bmatrix}: \det(B)=4\cdot2-(-1)\cdot0=8.Como \det(B)=8\neq0, B é invertível e B^{-1}=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}2 & 1 \\\\ 0 & 4\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1/4 & 1/8 \\\\ 0 & 1/2\end{bmatrix}.
  1. Determinante de 3\times3 (regra de Sarrus / expansão)
  • Para uma matriz 3\times3, \det\begin{bmatrix}a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{bmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
  • Aplicação rápida em D e E (útil para saber se são invertíveis):
    • Para D=\begin{bmatrix}1&5&2\\\\ -1&0&1\\\\ 3&2&4\end{bmatrix}: \det(D)=1\cdot(0\cdot4-1\cdot2)-5\cdot((-1)\cdot4-1\cdot3)+2\cdot((-1)\cdot2-0\cdot3)=29.Logo \det(D)=29\neq0\Rightarrow D é invertível.
    • Para E=\begin{bmatrix}6&1&3\\\\ -1&1&2\\\\ 4&1&3\end{bmatrix}: \det(E)=6\cdot(1\cdot3-2\cdot1)-1\cdot((-1)\cdot3-2\cdot4)+3\cdot((-1)\cdot1-1\cdot4)=2.Logo \det(E)=2\neq0\Rightarrow E também é invertível.
  1. Posto (rank) e método prático
  • O posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Na prática de prova, calcula-se via eliminação de Gauss (redução por linhas) até identificar quantas linhas não-nulas restam.
  • Para matrizes retangulares (como A e C), o posto é uma pergunta típica: envolve aplicar operações elementares por linhas.
  1. Autovalores e autovetores (breve)
  • Para matrizes quadradas M, autovalores \lambda vêm da equação \det(M-\lambda I)=0. Para 2\times2 ou 3\times3 isso vira resolver um polinômio (característico). Em prova, muitas vezes pedem apenas calcular autovalores simples de matrizes 2\times2 ou verificar se um vetor é autovetor.

Passo 6

Conclusão prática para este enunciado: com as matrizes dadas posso identificar dimensões, saber que B,D,E são invertíveis (determinantes não nulos) e que algumas multiplicações são definidas, mas não há como executar uma “resolução completa” porque não foi formulada nenhuma pergunta específica. Se o objetivo é treinar, eu posso:
  • calcular qualquer um dos produtos compatíveis (por exemplo AB, AC, C A, D E, etc.);
  • calcular inversas concretas de B,D,E (já verificado que existem);
  • calcular postos ou autovalores conforme pedido.
Não vou escolher arbitrariamente qual desses cálculos fazer, porque isso seria inventar uma pergunta que o enunciado não fez.

Resposta

Não é possível dar uma resolução completa porque o enunciado não contém nenhuma pergunta: foram apenas fornecidas as matrizes A,B,C,D,E.

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