Sejam m, n, p \in \mathbb{R}. O sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=m \\\ x+2 z=n \\\\ -2 x+y-z=p \\\\ -x+3 y-z=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear com incógnitas x,y,z e parâmetros m,n,p\in\mathbb{R}:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=m \\[4pt] x+2 z=n \\[4pt] -2 x+y-z=p \\[4pt] -x+3 y-z=5 \end{array}\right.
Pede-se determinar quando o sistema tem solução (ou seja, achar as condições sobre m,n,p para compatibilidade) e, quando for compatível, encontrar a solução (x,y,z). Vou listar as informações dadas:
  • Quatro equações lineares envolvendo as três incógnitas x,y,z.
  • Três parâmetros desconhecidos m,n,p.
  • A quarta equação tem constante conhecida 5.
    O objetivo implícito será encontrar as relações entre m,n,p que tornam o sistema consistente e, nesse caso, obter x,y,z.]

Passo 2

Usar a equação mais simples para isolar uma incógnita. Da segunda equação temos:
x+2z=n.
Isolando x obtemos
x = n - 2z.
Explicando: isolar significa escrever uma variável em função das outras e dos parâmetros; isso facilita substituir nas demais equações e reduzir o número de incógnitas.

Passo 3

Substituir x=n-2z na primeira equação x+y+z=m para obter y em função de z, m e n. Substituindo:
(n-2z)+y+z=m.
Agrupando termos em z e isolando y:
y - z + n = m \quad\Rightarrow\quad y - z = m-n.
Logo
y = m-n+z.
Observação didática: agrupar termos semelhantes e transpor para o outro membro é o método padrão para isolar variáveis.

Passo 4

Substituir x=n-2z e y=m-n+z na terceira equação -2x+y-z=p para resolver z. Fazendo a substituição:
-2(n-2z) + (m-n+z) - z = p.
Agora simplificar passo a passo:
-2n + 4z + m - n + z - z = p.
Reunindo termos constantes e termos em z:
(m) + (-2n - n) + (4z + z - z) = p,
m -3n + 4z = p.
Isolando z:
4z = p - m + 3n,
z = \frac{p - m + 3n}{4}.
Comentário: aqui usamos operações básicas (distributiva, soma e subtração de termos) e depois dividimos por 4 para isolar z.

Passo 5

Com z conhecido em termos de m,n,p, voltamos a x e y. Primeiro x=n-2z:
x = n - 2\cdot\frac{p - m + 3n}{4}.
Colocar em denominador comum:
x = \frac{4n - 2(p - m + 3n)}{4} = \frac{4n -2p +2m -6n}{4}.
Simplificando numeradores:
x = \frac{2m -2p -2n}{4} = \frac{m - p - n}{2}.
Reescrevendo de forma mais simétrica:
x = \frac{m - n - p}{2}.
Agora y = m-n+z:
y = m-n + \frac{p - m + 3n}{4}.
Colocando em denominador comum:
y = \frac{4(m-n) + (p - m + 3n)}{4} = \frac{4m -4n + p - m +3n}{4}.
Simplificando:
y = \frac{3m - n + p}{4}.
Portanto, a solução obtida a partir das três primeiras equações é
x = \frac{m - n - p}{2},\qquad y = \frac{3m - n + p}{4},\qquad z = \frac{p - m + 3n}{4}.

Passo 6

Verificar a quarta equação -x+3y-z=5 (condição de compatibilidade). Substituir as expressões de x,y,z e calcular o lado esquerdo:
-x+3y-z = -\frac{m - n - p}{2} + 3\cdot\frac{3m - n + p}{4} - \frac{p - m + 3n}{4}.
Colocar tudo sobre denominador 4:
-\frac{2(m - n - p)}{4} + \frac{9m -3n +3p}{4} - \frac{p - m + 3n}{4}.
Somando numeradores:
\frac{-2m +2n +2p +9m -3n +3p -p +m -3n}{4}.
Agrupando termos semelhantes no numerador:
\frac{(-2m+9m+m) + (2n-3n-3n) + (2p+3p-p)}{4} = \frac{8m -4n +4p}{4}.
Simplificando:
-x+3y-z = 2m - n + p.
Para que a quarta equação seja satisfeita é necessário (e suficiente) que
2m - n + p = 5.
Esta é a condição de compatibilidade do sistema: somente quando 2m - n + p = 5 as quatro equações são satisfeitas simultaneamente.

Passo 7

Interpretação final e unicidade. Conclusões:
  • Se 2m - n + p = 5, o sistema é compatível e a única solução (obtida acima) é
x = \frac{m - n - p}{2},\qquad y = \frac{3m - n + p}{4},\qquad z = \frac{p - m + 3n}{4}.
  • Se 2m - n + p \neq 5, o sistema é incompatível (não existe tripla (x,y,z) que satisfaça todas as quatro equações ao mesmo tempo).
Observação final (estímulo): deu trabalho mas valeu — isolamos variáveis, substituímos, simplificamos com calma e checamos a equação restante para obter a condição de compatibilidade. Se quiser, posso mostrar uma verificação numérica com valores concretos de m,n,p para treinar.

Resposta

O sistema é compatível se, e somente se, 2m - n + p = 5.
Se 2m - n + p = 5, então
x = \frac{m - n - p}{2},\qquad y = \frac{3m - n + p}{4},\qquad z = \frac{p - m + 3n}{4}.

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