Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens,
e
são matrizes quadradas.
.
Passo 1
O enunciado pede que determinemos se a igualdade
é verdadeira ou falsa, onde
são matrizes quadradas (da mesma ordem). As informações dadas são apenas que
e
são matrizes quadradas; não há restrição sobre invertibilidade ou campo dos coeficientes (assumiremos um campo usual como
ou
). Portanto a tarefa é provar a afirmação ou fornecer contraexemplo.
Passo 2
Vou recordar uma definição/propriedade fundamental sobre determinante que vou usar: o determinante é a função que associa a cada matriz quadrada
um número
com as seguintes propriedades essenciais (estas são as propriedades que caracterizam o determinante):
- multilinearidade nas colunas: visto como função das colunas de
, o determinante é linear em cada coluna quando as demais colunas são mantidas fixas; - alternância: se duas colunas de
são iguais então ; - normalização:
, onde é a matriz identidade.
Uma consequência importante (e padrão em álgebra linear) é: qualquer função que seja multilinear nas colunas, alternante e que valha
para
coincide com o determinante. Em particular, qualquer aplicação multilinear-alternante em colunas é proporcional ao determinante.
Vou usar esse fato para provar a multiplicatividade do determinante e daí a igualdade pedida.
Passo 3
Defina, para uma matriz fixa
, a função
que associa a cada matriz quadrada
a escala
Interpretemos
como função das colunas de
. Se as colunas de
são
(vetores coluna), então as colunas de
são
. Agora verifico as propriedades de
:
-
Multilinearidade: para cada posição
, se substituirmos por ou por , a coluna correspondente em fica ou . Como o determinante é linear em cada coluna, isso faz com que seja linear em quando as outras colunas são mantidas fixas. Logo é multilinear nas colunas de . -
Alternância: se duas colunas
e de são iguais, então e também são iguais, e portanto por alternância do determinante. Assim é alternante.
Portanto
é uma aplicação multilinear alternante nas colunas de
.
Passo 4
Pelo fato mencionado antes (unicidade do determinante até constante multiplicativa), toda função multilinear-alternante nas colunas é um múltiplo escalar do determinante: existe um escalar
tal que, para toda matriz
,
Para encontrar
avalie
em
. Temos
Por outro lado, pelo fator
,
Logo
e obtemos a igualdade válida para todo
:
Esta é a propriedade multiplicativa do determinante: para quaisquer matrizes quadradas
e
,
Passo 5
Aplicando a propriedade multiplicativa com
obtemos
Trocando a ordem, aplicando a propriedade com
e
permutados, obtemos
Como a multiplicação de escalares é comutativa (números reais ou complexos), temos
Portanto
Passo 6
Comentário ilustrativo simples (opcional para fixar): para
matrizes
uma conta direta mostra que
,
, e que
(a multiplicatividade pode ser verificada expandindo os produtos). Isso reforça o que foi provado de forma geral.
Resposta
Verdadeiro:
.