Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens, A, B e C são matrizes quadradas.
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A).

Passo 1

O enunciado pede que determinemos se a igualdade \det(A B)=\det(B A) é verdadeira ou falsa, onde A,B são matrizes quadradas (da mesma ordem). As informações dadas são apenas que A e B são matrizes quadradas; não há restrição sobre invertibilidade ou campo dos coeficientes (assumiremos um campo usual como \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Portanto a tarefa é provar a afirmação ou fornecer contraexemplo.

Passo 2

Vou recordar uma definição/propriedade fundamental sobre determinante que vou usar: o determinante é a função que associa a cada matriz quadrada M um número \det(M) com as seguintes propriedades essenciais (estas são as propriedades que caracterizam o determinante):
  • multilinearidade nas colunas: visto como função das colunas de M, o determinante é linear em cada coluna quando as demais colunas são mantidas fixas;
  • alternância: se duas colunas de M são iguais então \det(M)=0;
  • normalização: \det(I)=1, onde I é a matriz identidade.
Uma consequência importante (e padrão em álgebra linear) é: qualquer função que seja multilinear nas colunas, alternante e que valha 1 para I coincide com o determinante. Em particular, qualquer aplicação multilinear-alternante em colunas é proporcional ao determinante.
Vou usar esse fato para provar a multiplicatividade do determinante e daí a igualdade pedida.

Passo 3

Defina, para uma matriz fixa A, a função F que associa a cada matriz quadrada X a escala
F(X)=\det(A X).
Interpretemos F como função das colunas de X. Se as colunas de X são x_1,\dots,x_n (vetores coluna), então as colunas de A X são A x_1,\dots, A x_n. Agora verifico as propriedades de F:
  1. Multilinearidade: para cada posição j, se substituirmos x_j por u+v ou por \lambda u, a coluna correspondente em A X fica A(u+v)=Au+Av ou A(\lambda u)=\lambda Au. Como o determinante é linear em cada coluna, isso faz com que F(X)=\det(Ax_1,\dots,Ax_n) seja linear em x_j quando as outras colunas são mantidas fixas. Logo F é multilinear nas colunas de X.
  2. Alternância: se duas colunas x_i e x_j de X são iguais, então A x_i e A x_j também são iguais, e portanto \det(Ax_1,\dots,Ax_n)=0 por alternância do determinante. Assim F é alternante.
Portanto F é uma aplicação multilinear alternante nas colunas de X.

Passo 4

Pelo fato mencionado antes (unicidade do determinante até constante multiplicativa), toda função multilinear-alternante nas colunas é um múltiplo escalar do determinante: existe um escalar \lambda tal que, para toda matriz X,
F(X)=\lambda\det(X).
Para encontrar \lambda avalie F em X=I. Temos
F(I)=\det(AI)=\det(A).
Por outro lado, pelo fator \lambda,
F(I)=\lambda\det(I)=\lambda\cdot 1=\lambda.
Logo \lambda=\det(A) e obtemos a igualdade válida para todo X:
\det(A X)=\det(A)\det(X).
Esta é a propriedade multiplicativa do determinante: para quaisquer matrizes quadradas A e X,
\det(A X)=\det(A)\det(X).

Passo 5

Aplicando a propriedade multiplicativa com X=B obtemos
\det(A B)=\det(A)\det(B).
Trocando a ordem, aplicando a propriedade com A e B permutados, obtemos
\det(B A)=\det(B)\det(A).
Como a multiplicação de escalares é comutativa (números reais ou complexos), temos
\det(A)\det(B)=\det(B)\det(A).
Portanto
\det(A B)=\det(B A).

Passo 6

Comentário ilustrativo simples (opcional para fixar): para 2\times2 matrizes
A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}e&f\\\ g&h\end{pmatrix},
uma conta direta mostra que \det(A)=ad-bc, \det(B)=eh-fg, e que \det(AB)=\det(A)\det(B) (a multiplicatividade pode ser verificada expandindo os produtos). Isso reforça o que foi provado de forma geral.

Resposta

Verdadeiro: \det(A B)=\det(A)\det(B)=\det(B A).

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