Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens,
e
são matrizes quadradas.
Se
é
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada
de ordem
e pede para afirmar se é verdade que
Informações relevantes fornecidas:
-
é . - Queremos comparar o determinante da matriz
(a matriz multiplicada pelo escalar ) com o determinante de .
Passo 2
Vou escrever
por componentes para ficar bem claro o que está acontecendo. Seja
onde
são números (reais, complexos, o que for). Para uma matriz
sabemos a fórmula do determinante:
Explico rapidinho de onde vem: a definição padrão para
é exatamente a diferença do produto das diagonais principal e secundária, mas aqui vamos apenas usar essa fórmula direta.]
Passo 3
Agora escrevo explicitamente a matriz
. Multiplicar a matriz
pelo escalar
significa multiplicar cada entrada por
. Assim
Passo 4
Calculo o determinante de
usando a fórmula do
:
Agora faço as contas fatorando os
:
Mas
. Portanto
Passo 5
Interpretação conceitual (útil para a prova): multiplicar uma matriz por um escalar
multiplica cada linha (ou cada coluna) por
. O determinante é linear em cada linha separadamente, ou seja, se se multiplica uma linha por
o determinante é multiplicado por
. Como uma matriz
tem duas linhas, multiplicar toda a matriz por
equivale a multiplicar cada uma das duas linhas por
, e assim o determinante é multiplicado por
. No nosso caso
, então obtemos
. Isso confirma o cálculo algébrico acima e também fornece a ideia geral: para uma matriz
vale
.
Passo 6
Exemplo numérico para fixar (opcional, mas ajuda a ganhar confiança): tome
Então
.
Multiplicando por :
Multiplicando por
e
. Observa-se que
, ou seja
, exatamente como prometido.]