Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens, A, B e C são matrizes quadradas.
Se A é 2 \times 2, \operatorname{det}(7 A)=49 \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A de ordem 2\times2 e pede para afirmar se é verdade que
\det(7A)=49\det(A).
Informações relevantes fornecidas:
  • A é 2\times2.
  • Queremos comparar o determinante da matriz 7A (a matriz A multiplicada pelo escalar 7) com o determinante de A.

Passo 2

Vou escrever A por componentes para ficar bem claro o que está acontecendo. Seja
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
onde a,b,c,d são números (reais, complexos, o que for). Para uma matriz 2\times2 sabemos a fórmula do determinante:
\det(A)=ad-bc.
Explico rapidinho de onde vem: a definição padrão para 2\times2 é exatamente a diferença do produto das diagonais principal e secundária, mas aqui vamos apenas usar essa fórmula direta.]

Passo 3

Agora escrevo explicitamente a matriz 7A. Multiplicar a matriz A pelo escalar 7 significa multiplicar cada entrada por 7. Assim
7A=\begin{pmatrix} 7a & 7b \\[4pt] 7c & 7d \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo o determinante de 7A usando a fórmula do 2\times2:
\det(7A)=(7a)(7d)-(7b)(7c).
Agora faço as contas fatorando os 7:
(7a)(7d)-(7b)(7c)=7\cdot7\,(ad-bc)=49(ad-bc).
Mas ad-bc=\det(A). Portanto
\det(7A)=49\det(A).

Passo 5

Interpretação conceitual (útil para a prova): multiplicar uma matriz por um escalar k multiplica cada linha (ou cada coluna) por k. O determinante é linear em cada linha separadamente, ou seja, se se multiplica uma linha por k o determinante é multiplicado por k. Como uma matriz 2\times2 tem duas linhas, multiplicar toda a matriz por k equivale a multiplicar cada uma das duas linhas por k, e assim o determinante é multiplicado por k\cdot k=k^2. No nosso caso k=7, então obtemos 7^2=49. Isso confirma o cálculo algébrico acima e também fornece a ideia geral: para uma matriz n\times n vale \det(kA)=k^{n}\det(A).

Passo 6

Exemplo numérico para fixar (opcional, mas ajuda a ganhar confiança): tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Então \det(A)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2.
Multiplicando por 7:
7A=\begin{pmatrix}7 & 14\\[4pt]21 & 28\end{pmatrix},
e \det(7A)=7\cdot28-14\cdot21=196-294=-98. Observa-se que -98=49\cdot(-2), ou seja \det(7A)=49\det(A), exatamente como prometido.]

Resposta

\det(7A)=49\det(A)

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