Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right] \\\ D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right] .
Calcule quando possível:
\left(B A^{\prime}-2 C\right)^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz
\left( B A^{\prime} - 2 C \right)^{\prime},
onde são dadas as matrizes
A=\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Lista clara do que temos e do que se pede:
  • Temos A de dimensão 3\times2.
  • Temos B de dimensão 2\times2.
  • Temos C de dimensão 2\times3.
  • Queremos a transposta do resultado da expressão B A^{\prime} - 2 C.]

Passo 2

Verificar dimensões e se as operações são válidas:
  • A é 3\times2, logo A^{\prime} é 2\times3.
  • B é 2\times2. O produto B A^{\prime} é bem definido e terá dimensão 2\times3.
  • 2C tem dimensão 2\times3.
  • Portanto B A^{\prime}-2C é uma matriz 2\times3 e sua transposta será 3\times2. Tudo consistente.

Passo 3

Calcular A^{\prime}. Lembrando que a transposta troca linhas por colunas.
A^{\prime}=\begin{pmatrix}3 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 1\end{pmatrix}.
(Repare que a primeira linha de A^{\prime} é a primeira coluna de A, etc.)]

Passo 4

Calcular B A^{\prime}. Vou multiplicar B por cada coluna de A^{\prime}.
As colunas de A^{\prime} são \begin{pmatrix}3\\[2pt]0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Primeira coluna:
B\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\cdot3 + (-1)\cdot0 \\[4pt] 0\cdot3 + 2\cdot0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna:
B\begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\cdot(-1) + (-1)\cdot2 \\[4pt] 0\cdot(-1) + 2\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4-2 \\[2pt] 0+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\[2pt]4\end{pmatrix}.
  • Terceira coluna:
B\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\cdot1 + (-1)\cdot1 \\[4pt] 0\cdot1 + 2\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4-1 \\[2pt] 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Juntando colunas:
B A^{\prime}=\begin{pmatrix}12 & -6 & 3 \\[4pt] 0 & 4 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular 2C (multiplicação escalar elemento a elemento):
2C=2\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 8 & 4 \\[4pt] 6 & 2 & 10\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora subtrair B A^{\prime} - 2C elemento a elemento:
B A^{\prime} - 2C = \begin{pmatrix}12 & -6 & 3 \\[4pt] 0 & 4 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 8 & 4 \\[4pt] 6 & 2 & 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12-2 & -6-8 & 3-4 \\[4pt] 0-6 & 4-2 & 2-10\end{pmatrix}.
Fazendo as contas:
B A^{\prime} - 2C = \begin{pmatrix}10 & -14 & -1 \\[4pt] -6 & 2 & -8\end{pmatrix}.]

Passo 7

Por fim, tomar a transposta da matriz obtida. A transposta troca linhas por colunas, então
\left( B A^{\prime} - 2C \right)^{\prime} = \begin{pmatrix}10 & -14 & -1 \\[4pt] -6 & 2 & -8\end{pmatrix}^{\prime} = \begin{pmatrix}10 & -6 \\[4pt] -14 & 2 \\[4pt] -1 & -8\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}10 & -6 \\[4pt] -14 & 2 \\[4pt] -1 & -8\end{pmatrix}]

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