Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right] \\\ D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right] .
Calcule quando possível:
2 A^{\prime}+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão 2A'+C. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{bmatrix},
além de B,D,E que não são necessários para este cálculo. A tarefa é calcular 2A'+C quando isso for possível. Vou listar claramente o que foi dado e o que preciso obter:
  • Informação: A é uma matriz de dimensão 3\times2.
  • Informação: C é uma matriz de dimensão 2\times3.
  • Pergunta: Calcular 2A'+C. Preciso verificar se as dimensões compatibilizam para somar 2A' e C.

Passo 2

Verificação de dimensões (passo obrigatório antes de operar matrizes):
  • A transposta A' troca linhas e colunas; se A é 3\times2, então A' será 2\times3.
  • Multiplicar por 2 não muda dimensão, então 2A' também é 2\times3.
  • Como C é 2\times3, as duas matrizes têm a mesma dimensão, logo a soma 2A'+C é possível. A operação de soma será feita elemento a elemento.

Passo 3

Calcular a transposta A'. Explicação rápida do que é transpor: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas; o elemento que estava na linha i e coluna j vai para a linha j e coluna i. Aplicando a isso:
A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A'=\begin{bmatrix}3 & -1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1\end{bmatrix}.
Aqui cada linha de A' é uma coluna de A: primeira linha de A' (3,-1,1) veio da primeira coluna de A; segunda linha de A' (0,2,1) veio da segunda coluna de A.

Passo 4

Multiplicar A' por 2. Multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada por esse escalar. Assim:
2A'=\begin{bmatrix}2\cdot 3 & 2\cdot(-1) & 2\cdot 1 \\[4pt] 2\cdot 0 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6 & -2 & 2 \\[4pt] 0 & 4 & 2\end{bmatrix}.]

Passo 5

Preparar a soma com C. Reescrevendo C para somar elemento a elemento:
C=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 5\end{bmatrix}.
Agora somamos 2A' e C elemento a elemento: cada entrada (i,j) do resultado é a soma das entradas (i,j) de 2A' e de C.]

Passo 6

Calcular a soma elemento a elemento e apresentar o resultado:
Primeira linha:
(6+1,\\\ -2+4,\\\ 2+2)=(7,\\\ 2,\\\ 4).
Segunda linha:
(0+3,\\\ 4+1,\\\ 2+5)=(3,\\\ 5,\\\ 7).
Portanto
2A'+C=\begin{bmatrix}7 & 2 & 4 \\[4pt] 3 & 5 & 7\end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix}7 & 2 & 4 \\[4pt] 3 & 5 & 7\end{bmatrix}]

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