Se A\) é matriz \(2 \times 2\) com \[\begin{cases}a_{i j}=\sin \left(\frac{\pi i}{2}\right), & \text { se } i=j \\\ a_{i j}=\cos (\pi j), & \text { se } i \neq j\end{cases}
calcule A\] e \(A^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 2\times2\) \(A=(a_{ij})\) com a regra \[\begin{cases} a_{ij}=\sin\!\left(\dfrac{\pi i}{2}\right), & \text{se } i=j,\\[6pt] a_{ij}=\cos(\pi j), & \text{se } i\neq j, \end{cases}
para i,j\in\{1,2\}\]. A tarefa é calcular explicitamente \(A e A^{\prime} (a transposta de A).]

Passo 2

Calcular as entradas da diagonal (onde i=j) começando por \,a_{11} e \,a_{22}.
Para a_{11}: colocar i=1 em a_{ii}=\sin\!\left(\dfrac{\pi i}{2}\right):
a_{11}=\sin\!\left(\dfrac{\pi\cdot1}{2}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
Comentário rápido: \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 porque no círculo unitário o seno de 90^\circ vale 1.
Para a_{22}: colocar i=2:
a_{22}=\sin\!\left(\dfrac{\pi\cdot2}{2}\right)=\sin(\pi)=0.
Comentário: \sin(\pi)=0 porque o seno de 180^\circ é zero.

Passo 3

Calcular as entradas fora da diagonal (onde i\neq j): a_{12} e a_{21}, usando a_{ij}=\cos(\pi j).
Para a_{12}: aqui i=1, j=2:
a_{12}=\cos(\pi\cdot2)=\cos(2\pi)=1.
Comentário: \cos(2\pi)=1 porque o cosseno de 360^\circ é 1.
Para a_{21}: aqui i=2, j=1:
a_{21}=\cos(\pi\cdot1)=\cos(\pi)=-1.
Comentário: \cos(\pi)=-1 porque o cosseno de 180^\circ é -1.

Passo 4

Montar a matriz A com as entradas encontradas. Colocando as linhas em ordem:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Definir a transposta: para uma matriz 2\times2 genérica
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
a transposta é
\begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix},
ou seja, troca-se linhas por colunas. Aplicando isso em A obtém-se
A^{\prime}=A^{T}= \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}
A^{\prime}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}]

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